add example for catalan number

5.  一个栈（无穷大）的进栈序列为 $1,2,3, \cdots ,n$ 有多少个不同的出栈序列？

6.  $n$ 个结点可够造多少个不同的二叉树？

7.  $n$ 个不同的数依次进栈，求不同的出栈结果的种数？

8.   $n$ 个 $+1$ 和 $n$ 个 $-1$ 构成 $2n$ 项 $a_1,a_2, \cdots ,a_{2n}$ ，其部分和满足 $a_1+a_2+ \cdots +a_k>=0(k=1,2,3, \cdots ,2n)$ 对与 $n$ 该数列为？

8.  $n$ 个 $+1$ 和 $n$ 个 $-1$ 构成 $2n$ 项 $a_1,a_2, \cdots ,a_{2n}$ ，其部分和满足 $a_1+a_2+ \cdots +a_k \geq 0(k=1,2,3, \cdots ,2n)$ 对与 $n$ 该数列为？

其对应的序列为：

| $H_0$ | $H_1$ | $H_2$ | $H_3$ | $H_4$ | $H_5$ | $H_6$ | ... |

| :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-: |

| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :-: |

|   1   |   1   |   2   |   5   |  14   |  42   |  132  | ... |

(Catalan 数列）

$$

H_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1}

$$

## 路径计数

1. 从 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的非降路径数等于 m 个 x 和 n 个 y 的排列数，即 ${n + m \choose m}$。

2. 从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的除端点外不接触直线 $y=x$ 的非降路径数：

   先考虑 $y=x$ 下方的路径，都是从 $(0, 0)$ 出发，经过 $(1, 0)$ 及 $(n, n-1)$ 到 $(n,n)$，可以看做是 $(1,0)$ 到 $(n,n-1)$ 不接触 $y=x$ 的非降路径数。

   所有的的非降路径有 ${2n-2 \choose n-1}$ 条。对于这里面任意一条接触了 $y=x$ 的路径，可以把它最后离开这条线的点到 $(1,0)$ 之间的部分关于 $y=x$ 对称变换，就得到从 $(0,1)$ 到 $(n,n-1)$ 的一条非降路径。反之也成立。从而 $y=x$ 下方的非降路径数是 ${2n-2 \choose n-1} - {2n-2 \choose n}$。根据对称性可知所求答案为 $2{2n-2 \choose n-1} - 2{2n-2 \choose n}$。

3. 从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的除端点外不穿过直线 $y=x$ 的非降路径数：

   用类似的方法可以得到：$\frac{2}{n+1} {2n \choose n}$