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ST 表是用于解决 `可重复贡献问题` 的数据结构，例如区间 RMQ。

RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。解决 RMQ 问题有很多种方法，可以参考 [RMQ 专题](../topic/rmq.md) 

RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。解决 RMQ 问题有很多种方法，可以参考 [RMQ 专题](../topic/rmq.md)。

## 引入

 [ST 表模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3865) 

题目大意：给定 $n$ 个数，有 $m$ 个询问，对于每个询问，你需要回答区间 $[x,y]$ 中的最大值

题目大意：给定 $n$ 个数，有 $m$ 个询问，对于每个询问，你需要回答区间 $[x,y]$ 中的最大值。

考虑暴力做法。每次都对区间 $[x,y]$ 扫描一遍，求出最大值

考虑暴力做法。每次都对区间 $[x,y]$ 扫描一遍，求出最大值。

显然，这个算法会超时

显然，这个算法会超时。

## ST 表

显然， $f(i,0)=a_i$ 。

根据定义式，第二维就相当于倍增的时候“跳了 $2^j-1$ 步”，依据倍增的思路，写出状态转移方程： $f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))$ 

根据定义式，第二维就相当于倍增的时候“跳了 $2^j-1$ 步”，依据倍增的思路，写出状态转移方程： $f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))$ 。

![](./images/st1.png)

## 注意点

1.  输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化

1.  输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化。

2.  每次用 [std::log](https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/log) 重新计算 log 函数值并不值得，建议如下预处理

2.  每次用 [std::log](https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/log) 重新计算 log 函数值并不值得，建议如下预处理：

$$

\left\{\begin{aligned}

这并不是一个严谨的数学论证，更为严谨的附在下方：

??? note "更严谨的证明"

    理解本段，可能需要具备 [时间复杂度](../misc/complexity.md) 的关于“势能分析法”的知识。

    先分析预处理部分的时间复杂度：