fix(centroid): move tree-misc to tree-centroid and update it (#1827)

author: Ir1d, TrisolarisHD, LucienShui, Anguei

## 定义

对于树上的每一个点，计算其所有子树中最大的子树节点数，这个值最小的点就是这棵树的重心。

（这里以及下文中的“子树”都是指无根树的子树，即包括“向上”的那棵子树，并且不包括整棵树自身。）

## 性质

以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。

树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。

把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。

在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

## 求法

在 DFS 中计算每个子树的大小，记录“向下”的子树的最大大小，利用总点数 - 当前子树（这里的子树指有根树的子树）的大小得到“向上”的子树的大小，然后就可以依据定义找到重心了。

???+note "参考代码"

    ```cpp

    void getCentroid(int u, int fa) {

      siz[u] = 1;

      wt[u] = 0;

      for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {

        int v = to[i];

        if (v != fa) {

          getCentroid(v, u);

          siz[u] += siz[v];

          wt[u] = max(wt[u], siz[v]);

        }

      }

      wt[u] = max(wt[u], n - siz[u]);

      if (rt == 0 || wt[u] < wt[rt]) rt = u;  // rt 为重心编号

    }

    ```

## 参考

 <http://fanhq666.blog.163.com/blog/static/81943426201172472943638/> 

 <https://www.cnblogs.com/zinthos/p/3899075.html> 

## 树的重心

### 定义

以树的重心为根时，所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。

找到一个点，其所有的子树中最大的子树节点数最少，那么这个点就是这棵树的重心。

删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。

### 性质

树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

### 求法

树的重心可以通过简单的两次搜索求出。

1.  第一遍搜索求出以每个节点为根的子树中结点数量 $sz_{u}$ 

2.  第二遍搜索找出使 $\max_{v\in\operatorname{son}(u)}\{n-sz_{u},sz_{v}\}$ 最小的节点 $u$ 。

实际上这两步操作可以在一次遍历中解决。对节点 u 的每一个儿子 v 递归处理，然后以 $sz_{v}$ 更新 $u$ 的子节点子树节点数最大值，处理完所有子结点后，判断 u 是否为重心。

（代码来自叉姐）

```cpp

struct CenterTree {

  int n;

  int ans;

  int siz;

  int son[maxn];

  void dfs(int u, int pa) {

    son[u] = 1;

    int res = 0;

    for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {

      int v = edges[i].to;

      if (v == pa) continue;

      dfs(v, u);

      son[u] += son[v];

      res = max(res, son[v]);

    }

    res = max(res, n - son[u]);

    if (res < siz) {

      ans = u;

      siz = res;

    }

  }

  int getCenter(int x) {

    ans = 0;

    siz = INF;

    dfs(x, -1);

    return ans;

  }

}

```

## 参考

 <http://fanhq666.blog.163.com/blog/static/81943426201172472943638/> 

 <https://www.cnblogs.com/zinthos/p/3899075.html> 

    - 树上问题:

      - 树基础: graph/tree-basic.md

      - 最近公共祖先: graph/lca.md

      - 树的其他问题: graph/tree-misc.md

      - 树哈希: graph/tree-hash.md

      - 树的重心: graph/tree-centroid.md

      - 树链剖分: graph/hld.md

      - 树上启发式合并: graph/dsu-on-tree.md

      - 虚树: graph/virtual-tree.md

      - 树分治: graph/tree-divide.md

      - 动态树分治: graph/dynamic-tree-divide.md

      - 虚树: graph/virtual-tree.md

      - 树上启发式合并: graph/dsu-on-tree.md

      - 树哈希: graph/tree-hash.md

    - 矩阵树定理: graph/matrix-tree.md

    - 有向无环图: graph/dag.md

    - 拓扑排序: graph/topo.md