✨ add LGV lemma

## 简介

Lindström–Gessel–Viennot lemma，即 LGV 引理，可以用来处理有向无环图上不相交路径计数等问题。

前置知识：[图论简介](./index.md)、[图论基础](./basic.md)、[矩阵](../math/matrix.md)、[高斯消元求行列式](../math/gauss.md)。

LGV 引理仅适用于 **有向无环图**。

## 定义

$\omega(P)$ 表示 $P$ 这条路径上所有边的边权之积。（路径计数时，可以将边权都设为 $1$）（事实上，边权可以为生成函数）

$e(u, v)$ 表示 $u$ 到 $v$ 的**每一条**路径 $P$ 的 $\omega(P)$ 之和，即 $e(u, v)=\sum\limits_{P:u\rightarrow v}\omega(P)$。

起点集合 $A$，是有向无环图点集的一个子集，大小为 $n$。

终点集合 $B$，也是有向无环图点集的一个子集，大小也为 $n$。

一组 $A\rightarrow B$ 的不相交路径 $S$：$S_i$ 是一条从 $A_i$ 到 $B_{\sigma(S)_i}$ 的路径（$\sigma(S)$ 是一个排列），对于任何 $i\ne j$，$S_i$ 和 $S_j$ 没有公共顶点。

$N(\sigma)$ 表示排列 $\sigma$ 的逆序对个数。

## 引理

$$

M = \begin{bmatrix}e(A_1,B_1)&e(A_1,B_2)&\cdots&e(A_1,B_n)\\

e(A_2,B_1)&e(A_2,B_2)&\cdots&e(A_2,B_n)\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

e(A_n,B_1)&e(A_n,B_2)&\cdots&e(A_n,B_n)\end{bmatrix}

$$

$$

\det(M)=\sum\limits_{S:A\rightarrow B}(-1)^{N(\sigma(S))}\prod\limits_{i=1}^n \omega(S_i)

$$

其中 $\sum\limits_{S:A\rightarrow B}$ 表示满足上文要求的 $A\rightarrow B$ 的每一组不相交路径 $S$。

证明请参考 [维基百科](https://en.wikipedia.org/wiki/Lindström–Gessel–Viennot_lemma)。

## 例题

[hdu5852 Intersection is not allowed!](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5852)

题意：有一个 $n\times n$ 的棋盘，一个棋子从 $(x, y)$ 只能走到 $(x, y+1)$ 或 $(x + 1, y)$，有 $k$ 个棋子，一开始第 $i$ 个棋子放在 $(1, a_i)$，最终要到 $(n, b_i)$，路径要两两不相交，求方案数对 $10^9+7$ 取模。$1\le n\le 10^5$, $1\le k\le 100$，保证 $1\le a_1<a_2<\dots<a_n\le n$, $1\le b_1<b_2<\dots<b_n\le n$。

观察到如果路径不相交就一定是 $a_i$ 到 $b_i$，因此 LGV 引理中一定有 $\sigma(S)_i=i$，不需要考虑符号问题。边权设为 $1$，直接套用引理即可。

从 $(1, a_i)$ 到 $(n, b_j)$ 的路径条数相当于从 $n-1+b_j-a_i$ 步中选 $n-1$ 步向下走，所以 $e(A_i, B_j)=\binom{n-1+b_j-a_i}{n-1}$。

行列式可以使用高斯消元求。

复杂度为 $O(n+k^2(k + \log p))$，其中 $\log p$ 是求逆元复杂度。

??? note "参考代码"

	```cpp

	#include <cstdio>

	#include <algorithm>

	typedef long long ll;

	const int K = 105;

	const int N = 100005;

	const int mod = 1e9 + 7;

	int T, n, k, a[K], b[K], fact[N << 1], m[K][K];

	int qpow(int x, int y)

	{

		int out = 1;

		while (y)

		{

			if (y & 1) out = (ll) out * x % mod;

			x = (ll) x * x % mod;

			y >>= 1; 

		}

		return out;

	}

	int c(int x, int y)

	{

		return (ll) fact[x] * qpow(fact[y], mod - 2) % mod * qpow(fact[x - y], mod - 2) % mod;

	}

	int main()

	{

		fact[0] = 1;

		for (int i = 1; i < N * 2; ++i) fact[i] = (ll) fact[i - 1] * i % mod;

		scanf("%d", &T);

		while (T--)

		{

			scanf("%d%d", &n, &k);

			for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%d", a + i);

			for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%d", b + i);

			for (int i = 1; i <= k; ++i)

			{

				for (int j = 1; j <= k; ++j)

				{

					if (a[i] <= b[j]) m[i][j] = c(b[j] - a[i] + n - 1, n - 1);

					else m[i][j] = 0;

				}

			}

			for (int i = 1; i < k; ++i)

			{

				if (!m[i][i])

				{

					for (int j = i + 1; j <= k; ++j)

					{

						if (m[j][i])

						{

							std::swap(m[i], m[j]);

							break;

						}

					}

				}

				if (!m[i][i]) continue;

				for (int j = i + 1; j <= k; ++j)

				{

					if (!m[j][i]) continue;

					int mul = (ll) m[j][i] * qpow(m[i][i], mod - 2) % mod; 

					for (int p = i; p <= k; ++p)

					{

						m[j][p] = (m[j][p] - (ll) m[i][p] * mul % mod + mod) % mod;

					}

				}

			}

			int ans = 1;

			for (int i = 1; i <= k; ++i) ans = (ll) ans * m[i][i] % mod;

			printf("%d\n", ans);

		}

		return 0;

	}

	```

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