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# 递归

介绍分治之前，首先要弄清楚 [递归](https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E9%80%92%E5%BD%92) 这个概念。

介绍分治之前，首先要弄清楚递归这个概念。

递归是什么呢？举个简单的例子：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚给小和尚讲故事，讲的什么故事呢？从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚……

递归的基本思想是某个函数直接或者间接地调用自身，这样就把原问题的求解转换为许多性质相同但是规模更小的子问题。我们只需要关注如何把原问题划分成符合条件的子问题，而不需要去研究这个子问题是如何被解决的。

在用递归思想解题的时候，要考虑三个要素。

## 递归式

## 递归三要素

### 递归式

具体是如何地将原问题划分为子问题？

如何将原问题划分为子问题？如何科学地进行递归？

## 递归出口

### 递归出口

终止的条件是什么？换言之，最小的子问题是怎么求解的。

出口可以不止一个。

## 界函数

### 界函数

我们用一个函数来表示问题规模变化，这个函数需要保证递归的条件是在像出口条件靠拢。

### 递归模板

```c++

int f(传入数值)

{

    if (终止条件)

        return 最小子问题解;

    return f(缩小规模);

}

```

## 递归优化

先来一道例题：[三连击](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1028)。

这道题朴素的递归写法只能得到 25 分，因为递归次数太多，所以超时。

怎么优化呢？详见 [搜索优化](/search/optimization) 和 [记忆化搜索](https://oi-wiki.org/dp/memo/)。

# 分治

分治是一种极为重要的思想。顾名思义，分而治之，就是把大问题化小，再各个击破的过程。

#### 总结一下记忆化搜索是啥:

- 不依赖任何 **外部变量**

- 答案以返回值的形式存在, 而不能以参数的形式存在 (就是不能将 dfs 定义成 $dfs(pos ,tleft , nowans )$, 这里面的 nowans 不符合要求).

- 对于相同一组参数, dfs 返回值总是相同的

* * *

举例: 用常规 dp 写 "合并石子" 需要先枚举区间长度然后枚举起点, 但记忆化搜索直接枚举断点 (就是枚举当前区间由哪两个区间合并而成) 然后递归下去就行

- 边界情况非常好处理, 且能有效防止数组访问越界

- 有些 dp (如区间 dp) 用记忆化搜索写很简单但正常 dp 很难

- 记忆化搜索天生携带搜索天赋, 可以使用技能 "剪枝"!

缺点:

- 致命伤: 不能滚动数组!

- 有些优化比较难加

- 由于递归, 有时效率较低但不至于 TLE (状压 dp 除外)

* * *

## 5. 记忆化搜索的注意事项

- 千万别忘了加记忆化! (别笑, 认真的

- 边界条件要加在检查当前数组值是否为 - 1 前 (防止越界)

- 边界条件要加在检查当前数组值是否为非法数值 (防止越界)

- 数组不要开小了 (逃

## 6. 模板

```c++

int g[MAXN]；

int f(传入数值)

{

    if (g[规模]!=无效数值)

        return g[规模];

    if (终止条件)

        return 最小子问题解;

    g[规模]=f(缩小规模);

    return g[规模];

}

int main()

{

    ...

    memset(g,无效数值,sizeof(g));

    ...

}

```

    - 基础部分简介: basic/index.md

    - 枚举: basic/enumerate.md

    - 模拟: basic/simulate.md

    - 分治: basic/divide-and-conquer.md

    - 递归&分治: basic/divide-and-conquer.md

    - 贪心: basic/greedy.md

    - 排序: basic/sort.md

    - 表达式求值: basic/expression.md

    - IDA*: search/idastar.md

    - 回溯法: search/backtracking.md

    - Dancing Links: search/dlx.md

    - 优化: search/optimization.md

  - 动态规划:

    - 动态规划部分简介: dp/index.md

    - 记忆化搜索: dp/memo.md