在二分图板块中添加了最大权匹配和一般图匹配的内容，对前面的内容作了微调。 (#1909)

#### 匹配

给定一个二分图 $G$ ，若在 $G$ 的子图 $M$ 中，任意两条边都没有公共节点，那么称 $M$ 为二分图 $G$ 的一个匹配，且 M 的边数为匹配数。

设 $G$ 为二分图，若在 $G$ 的子图 $M$ 中，任意两条边都没有公共节点，那么称 $M$ 为二分图 $G$ 的一个匹配，且 $M$ 的边数为匹配数。

#### 完备匹配

设 $G=<V_1, V_2, E>$ 为二分图， $|V_1| \leq |V_2|$ ， $M$ 为 $G$ 中一个最大匹配，且 $|M|=2|V_1|$ ，则称 $M$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配。

#### 霍尔定理

设二分图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

#### 最大匹配

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除此之外，该问题还可以转化为 [最大流](graph/flow/max-flow) 问题解决。

设 $G=<V_1, V_2, E>$ 是一个二分图，不妨在图中添加源点 $s$ 和汇点 $t$ ，从 $s$ 向 $V_1$ 中的所有节点连一条流量为 1 的边， $V_2$ 中的所有节点也向 $t$ 连一条流量为 1 的边，并且将 $V_1$ 和 $V_2$ 之间的边改成从 $V_1$ 指向 $V_2$ ，流量为 1 的边。此时该图的最大流量即为最大匹配数，流量流过的边和点构成的子图即为 $G$ 的最大匹配。

若使用 Dinic 算法，则时间复杂度为 $O(N \sqrt{M+N})$ 。

例题参考：

 [洛谷 P3386【模板】二分图匹配](https://www.luogu.com.cn/problem/P3386) 

#### 最大权匹配

#### 霍尔定理

设 $G$ 为带边权的二分图，寻找 $G$ 边权和最大的匹配称为最大权匹配问题。

该问题可以转化为 [费用流](graph/flow/min-cost) 问题解决。

设 $G=<V_1, V_2, E>$ 是一个带边权的二分图，不妨在图中添加源点 $s$ 和汇点 $t$ ，从 $s$ 向 $V_1$ 中的所有节点连一条流量为 1，费用为 0 的边，从 $V_1$ 和 $V_2$ 的所有节点向 $t$ 连一条流量为 1，费用为 0 的边，并且将 $V_1$ 和 $V_2$ 之间的边改成从 $V_1$ 指向 $V_2$ ，流量为 1，费用为边权的边。此时该图的最大费最大流的费用即为最大权匹配的边权和，流量流过的边和点构成的子图（删去新添加的点和边后）即为 $G$ 的最大权匹配。

### 一般图匹配

对于一个图 $G(V, E)$ ，它的匹配 $M$ 是二元组 $(u, v)$ 组成的集合，其中 $u, v \in V, (u, v) \in E$ ，并且 $M$ 中不存在重复的点。

设二部图 $G=<V_1, V_2, E>, |V_1| \leq |V_2|$ ，则 $G$ 中存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配当且仅当对于任意的 $S \subset V_1$ ，均有 $|S|\leq|N(S)|$ ，其中 $N(S)=\Cup_{v_i \in S}{N(V_i)}$ ，是 $S$ 的邻域。

当 $|M|$ 最大的时候，我们称 $M$ 为 $G$ 的最大匹配。

## 一般图匹配

该问题可以使用带花树算法或 Tutte 矩阵来解决。