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feat: update bit operations (#471) 

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docs/math/bit.md

+48 −21
Original line number Diff line number Diff line
@@ -30,7 +30,7 @@ 
> \end{aligned}

> $$



#### 取反

## 取反



取反是对 1 个数 $num$ 进行的计算。
@@ -64,13 +64,13 @@ 
>

> $$

> \begin{aligned}

> &5&&=&&(101)_2\\

> &5\tt\,<<\,\rm2&&=&&(10100)_2\!\!\!&=&&\!\!\!20\\

> &5\tt>>\rm1&&=&&(10)_2&=&&2

> &5&&=&&(00000101)_2\\

> &5\tt\,<<\,\rm1&&=&&(00001010)_2\!\!\!&=&&\!\!\!20\\

> &5\tt>>\rm1&&=&&(00000010)_2&=&&2

> \end{aligned}

> $$



如上图，右移操作中末尾多余的 “1” 将会被舍弃。

在 C++ 中，右移操作中末尾多余的 “1” 将会被舍弃。而左侧较为复杂，对于无符号数，会在左侧补 0；而对于有符号数，则会用最高位的数补齐（Replicate most significant bit on left）。



注意，左移和右移是有返回值的，并非对 $num$ 本身进行操作。
@@ -78,21 +78,36 @@ 


## 位运算的应用



> `num << i` 相当于 $num$ 乘以 2 的 $i$ 次方，而 `num >> i` 相当于 $num$ 整除 2 的 $i$ 次方。 (位运算比 `%` 和 `/` 操作快得多)

> (据 2018JSOI 夏令营，效率可以提高 60%)

>

> `num * 10 = (num<<1) + (num<<3)`

>

> `num & 1` 相当于取 $num$ 二进制的最末位，可用于判断 $num$ 的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。

>

> ```cpp

> //利用位运算的快捷的 swap 代码

> void swap(int a, int b){

> 	a = a ^ b;   

> 	b = a ^ b;  

> 	a = a ^ b;

> }

> ```

如果 $num$ 是正数，`num << i` 相当于 $num$ 乘以 2 的 $i$ 次方，而 `num >> i` 相当于 $num$ 除以 2 的 $i$ 次方。 (位运算比 `%` 和 `/` 操作快得多)

(据 2018JSOI 夏令营，效率可以提高 60%)



!!! warning

    为什么要强调是正数呢？考虑一下 `-1 >> 3`



`num * 10 = (num<<1) + (num<<3)`



`num & 1` 相当于取 $num$ 二进制的最末位，可用于判断 $num$ 的奇偶性，二进制的最末位为 0 表示该数为偶数，最末位为 1 表示该数为奇数。



```cpp

//利用位运算的快捷的 swap 代码

void swap(int a, int b){

	a = a ^ b;   

	b = a ^ b;  

	a = a ^ b;

}

```



一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。比如集合 `{1, 3, 4, 8}`，可以表示成 `0b00000000000000000000000100011010`，十进制就是 $2^8+2^4+2^3+2^1=282$。



而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。



| 操作  |            集合表示 |  位运算语句  |

| --- | --------------: | :-----: |

| 交集  |      $a \cap b$ | `a & b` |

| 并集  |      $a \cup b$ | `a | b` |

| 补集  |       $\bar{a}$ |   `~a`  |

| 差集  | $a \setminus b$ |   `~a`  |

| 对称差 |  $a\triangle b$ | `a ^ b` |



* * *
@@ -211,6 +226,18 @@ 
      ｝

    ```



#### 题目推荐

-   遍历一个集合的子集

    ```cpp

    int b = 0;

    do {

      // process subset b

    } while (b = (b - x) & x);

    ```



## 题目推荐



[CODEVS 2743 黑白棋游戏](http://codevs.cn/problem/2743/)



## 参考



位运算技巧：<https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html>