Loading docs/geometry/2d.md +1 −1 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -19,7 +19,7 @@ - 向量（包括向量积） - 极坐标与极坐标系 请先阅读 [向量](../math/vector.md) 和 [极坐标](../math/polar-coordinate.md) 。 请先阅读 [向量](../math/vector.md) 和 [极坐标](./polar-coordinate.md) 。 ## 图形的记录 Loading docs/geometry/index.md +1 −26 Original line number Diff line number Diff line 利用计算机建立数学模型解决几何问题。 No newline at end of file ## 种类 - 二维计算几何 - 三维计算几何 ## 基础 首先你要有一点数学几何基础 请先阅读 [向量相关知识](../math/vector.md) 部分。 ### 以下是你可以在本部分找到的知识（部分未完成，待补充） - 二维计算几何基础 - 三维计算几何基础 - 有关「距离」的知识 - Pick 定理 - 三角剖分 - 凸包 - 扫描线 - 旋转卡壳 - 半平面交 - 平面最近点对 - 随机增量法 docs/math/polar-coordinate.md→docs/geometry/polar-coordinate.md +2 −0 Original line number Diff line number Diff line author: Ir1d, HeRaNO, Chrogeek, abc1763613206 ## 极坐标与极坐标系 （为人教版高中数学选修 4-4 内容） Loading docs/math/index.md +3 −97 Original line number Diff line number Diff line 在 OI/ACM 的各种比赛中，常常会有数学题的出现。 在 OI/ACM 的各种比赛中，常常会用到数学知识，尤其是离散、具体的数学，以数论、排列组合、概率期望、多项式为代表，可以出现在几乎任何类别的题目中。 这些数学题以数论、排列组合、概率期望、多项式为代表，可以出现在几乎任何类别的题目中。 举几个栗子： 举几个例子： 1. 多项式可以优化卷积形式的背包，可以做一些字符串题。 2. 很多 DP 类型的题都可以结合排列组合/概率期望。 * * * ## 以下是你可以在本部分找到的知识（部分未完成，待补充） 1. 进制：多种进制的介绍与互相转化。 2. 位运算：二进制下的按位运算（与、或、非等）。 3. 高精度：当数字过大，语言变量类型不足以存储时的处理方法。 4. 整除：质数、最大公约数、欧拉函数与欧拉定理、（类）欧几里德算法。 5. 同余：裴蜀定理、逆元、中国剩余定理、大步小步（BSGS）算法、阶与原根。 6. 线性代数基础：矩阵、高斯消元（矩阵/概率期望）、线性基。 7. 复数与复平面 8. 数论反演：主要有莫比乌斯反演。 9. 筛法：埃氏筛、欧拉筛（线性筛）、杜教筛/洲阁筛。 10. 多项式：快速傅里叶变换（FFT）、快速数论变换（NTT），拉格朗日插值、多项式的各种变换。 11. 组合数学：排列组合、卡特兰数、斯特林数、康托展开、容斥原理、抽屉原理。 12. 概率与期望 13. 置换 14. 线性规划 15. 单纯形算法 16. 博弈论算法 17. 快速幂算法 18. 向量 19. 极坐标与极坐标系 20. 其他算法 * * * OI 中的数学以高中，大学的数学为基础，考察选手对数学知识的掌握，利用计算机的计算能力来解决问题。 ## NOIP 中有可能会考察的知识点 然而 NOIP 可能考察更多的知识点，这里只是利用之前的题总结出来的，考过或者考的概率比较大的知识点。 NOIP 对数学的考察还处在一个比较简单的范围。 1. 进制相关——通常是利用进制优化一些问题，博弈论中也多有涉及 2. 位运算——状压常用，数据范围较小时可以用来表示状态 3. 高精度——不包括需要利用多项式的高精度，其思想类似于纸笔模拟计算 4. 整除性质—— $\gcd$ ， $\operatorname{lcm}$ ，欧拉函数，费马小定理，筛素数，应用颇广 5. 同余相关——exgcd，逆元，中国剩余定理，解同余方程组 6. 概率期望——概率 DP，以及有可能用到高斯消元解决的概率 DP 7. 排列组合——杨辉三角，二项式定理，卢卡斯定理，卡特兰数 8. 数论问题——素数（质数），快速幂，找规律 ## 常见符号 在学习数论的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。 ### 复杂度函数 1. 大 $O$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ |f(x)|\leq M|g(x)|$ ，我们就可以认为， $f(x)=O(g(x))$ 。 2. 大 $\Omega$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ f(x)\geq Mg(x)$ ，我们就可以认为， $f(x)=\Omega (g(x))$ . 大 $O$ 与大 $\Omega$ 恰好相反，即 $f(x)=O(g(x))\Leftrightarrow g(x)=\Omega(f(x))$ 。 3. 大 $\Theta$ 符号：大 $\Theta$ 符号是大 $\text{O}$ 和大 $\Omega$ 的结合，即 $f(x)=O(g(x))\wedge f(x)=\Omega(g(x))\ \Rightarrow f(x)=\Theta(g(x))$ 。 ### 整除/同余理论常见符号 1. 整除符号： $x\mid y$ ，表示 $x$ 整除 $y$ ，即 $x$ 是 $y$ 的因数。 2. 取模符号： $x\bmod y$ ，表示 $x$ 除以 $y$ 得到的余数。 3. 互质符号： $x\perp y$ ，表示 $x$ , $y$ 互质。 4. 最大公约数： $\gcd(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $(x,y)$ 。 5. 最小公倍数： $\operatorname{lcm}(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $[x,y]$ 。 ### 数论函数常见符号 求和符号： $\sum$ 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子： - $\sum_{i=1}^n i$ 表示 $1+2+\dotsb+n$ 的和。其中 $i$ 是一个变量，在求和符号的意义下 $i$ 通常是 **正整数或者非负整数** （除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为， $i$ 从 $1$ 循环到 $n$ ，所有 $i$ 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$ 。 - $\sum_{S\subseteq T}|S|$ 表示所有被 $T$ 包含的集合的大小的和。 - $\sum_{p\le n,p\perp n}1$ 表示的是 $n$ 以内有多少个与 $n$ 互质的数，即 $\varphi(n)$ ， $\varphi$ 是欧拉函数。 求积符号： $\prod$ 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子： - $\prod_{i=1}^ni$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!$ 。在组合数学常见符号中会讲到。 - $\prod_{i=1}^na_i$ 表示 $a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n$ 。 - $\prod_{x|d}x$ 表示 $d$ 的所有因数的乘积。 在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。 ### 其他常见符号 1. 阶乘符号 $!$ ， $n!$ 表示 $1\times 2\times 3\times \dotsb \times n$ 。 2. 向下取整符号： $\lfloor x\rfloor$ ，表示小于等于 $x$ 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 $\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor$ 。 3. 向上取整符号： $\lceil x\rceil$ ，与向下取整符号相对，表示大于等于 $x$ 的最小的整数。 ## 温馨提示 在「基础知识」一栏中介绍了在 OI 中可能用到的重要高中数学知识。 如果您是高中 OIer，强烈建议您回班级听课，相比于自学，老师讲课可以使您理解得更透彻。 该栏目按照从必修到选修的顺序介绍。所有内容均基于《普通高中课程标准实验教科书 数学》（人教 A 版）。 另外，还请大家学好高一数学，这样学习数论的时侯会省很多功夫。 另外，建议学好高中数学，这样的话在学习本部分时会有所帮助。 No newline at end of file docs/math/sign.md 0 → 100644 +39 −0 Original line number Diff line number Diff line author: sshwy, hsfzLZH1, Enter-tainer 在学习数学的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。 ### 复杂度函数 1. 大 $O$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ |f(x)|\leq M|g(x)|$ ，我们就可以认为， $f(x)=O(g(x))$ 。 2. 大 $\Omega$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ f(x)\geq Mg(x)$ ，我们就可以认为， $f(x)=\Omega (g(x))$ . 大 $O$ 与大 $\Omega$ 恰好相反，即 $f(x)=O(g(x))\Leftrightarrow g(x)=\Omega(f(x))$ 。 3. 大 $\Theta$ 符号：大 $\Theta$ 符号是大 $\text{O}$ 和大 $\Omega$ 的结合，即 $f(x)=O(g(x))\wedge f(x)=\Omega(g(x))\ \Rightarrow f(x)=\Theta(g(x))$ 。 ### 整除/同余理论常见符号 1. 整除符号： $x\mid y$ ，表示 $x$ 整除 $y$ ，即 $x$ 是 $y$ 的因数。 2. 取模符号： $x\bmod y$ ，表示 $x$ 除以 $y$ 得到的余数。 3. 互质符号： $x\perp y$ ，表示 $x$ , $y$ 互质。 4. 最大公约数： $\gcd(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $(x,y)$ 。 5. 最小公倍数： $\operatorname{lcm}(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $[x,y]$ 。 ### 数论函数常见符号 求和符号： $\sum$ 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子： - $\sum_{i=1}^n i$ 表示 $1+2+\dotsb+n$ 的和。其中 $i$ 是一个变量，在求和符号的意义下 $i$ 通常是 **正整数或者非负整数** （除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为， $i$ 从 $1$ 循环到 $n$ ，所有 $i$ 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$ 。 - $\sum_{S\subseteq T}|S|$ 表示所有被 $T$ 包含的集合的大小的和。 - $\sum_{p\le n,p\perp n}1$ 表示的是 $n$ 以内有多少个与 $n$ 互质的数，即 $\varphi(n)$ ， $\varphi$ 是欧拉函数。 求积符号： $\prod$ 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子： - $\prod_{i=1}^ni$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!$ 。在组合数学常见符号中会讲到。 - $\prod_{i=1}^na_i$ 表示 $a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n$ 。 - $\prod_{x|d}x$ 表示 $d$ 的所有因数的乘积。 在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。 ### 其他常见符号 1. 阶乘符号 $!$ ， $n!$ 表示 $1\times 2\times 3\times \dotsb \times n$ 。 2. 向下取整符号： $\lfloor x\rfloor$ ，表示小于等于 $x$ 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 $\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor$ 。 3. 向上取整符号： $\lceil x\rceil$ ，与向下取整符号相对，表示大于等于 $x$ 的最小的整数。 No newline at end of file Loading
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docs/geometry/index.md +1 −26 Original line number Diff line number Diff line 利用计算机建立数学模型解决几何问题。 No newline at end of file ## 种类 - 二维计算几何 - 三维计算几何 ## 基础 首先你要有一点数学几何基础 请先阅读 [向量相关知识](../math/vector.md) 部分。 ### 以下是你可以在本部分找到的知识（部分未完成，待补充） - 二维计算几何基础 - 三维计算几何基础 - 有关「距离」的知识 - Pick 定理 - 三角剖分 - 凸包 - 扫描线 - 旋转卡壳 - 半平面交 - 平面最近点对 - 随机增量法
docs/math/polar-coordinate.md→docs/geometry/polar-coordinate.md +2 −0 Original line number Diff line number Diff line author: Ir1d, HeRaNO, Chrogeek, abc1763613206 ## 极坐标与极坐标系 （为人教版高中数学选修 4-4 内容） Loading
docs/math/index.md +3 −97 Original line number Diff line number Diff line 在 OI/ACM 的各种比赛中，常常会有数学题的出现。 在 OI/ACM 的各种比赛中，常常会用到数学知识，尤其是离散、具体的数学，以数论、排列组合、概率期望、多项式为代表，可以出现在几乎任何类别的题目中。 这些数学题以数论、排列组合、概率期望、多项式为代表，可以出现在几乎任何类别的题目中。 举几个栗子： 举几个例子： 1. 多项式可以优化卷积形式的背包，可以做一些字符串题。 2. 很多 DP 类型的题都可以结合排列组合/概率期望。 * * * ## 以下是你可以在本部分找到的知识（部分未完成，待补充） 1. 进制：多种进制的介绍与互相转化。 2. 位运算：二进制下的按位运算（与、或、非等）。 3. 高精度：当数字过大，语言变量类型不足以存储时的处理方法。 4. 整除：质数、最大公约数、欧拉函数与欧拉定理、（类）欧几里德算法。 5. 同余：裴蜀定理、逆元、中国剩余定理、大步小步（BSGS）算法、阶与原根。 6. 线性代数基础：矩阵、高斯消元（矩阵/概率期望）、线性基。 7. 复数与复平面 8. 数论反演：主要有莫比乌斯反演。 9. 筛法：埃氏筛、欧拉筛（线性筛）、杜教筛/洲阁筛。 10. 多项式：快速傅里叶变换（FFT）、快速数论变换（NTT），拉格朗日插值、多项式的各种变换。 11. 组合数学：排列组合、卡特兰数、斯特林数、康托展开、容斥原理、抽屉原理。 12. 概率与期望 13. 置换 14. 线性规划 15. 单纯形算法 16. 博弈论算法 17. 快速幂算法 18. 向量 19. 极坐标与极坐标系 20. 其他算法 * * * OI 中的数学以高中，大学的数学为基础，考察选手对数学知识的掌握，利用计算机的计算能力来解决问题。 ## NOIP 中有可能会考察的知识点 然而 NOIP 可能考察更多的知识点，这里只是利用之前的题总结出来的，考过或者考的概率比较大的知识点。 NOIP 对数学的考察还处在一个比较简单的范围。 1. 进制相关——通常是利用进制优化一些问题，博弈论中也多有涉及 2. 位运算——状压常用，数据范围较小时可以用来表示状态 3. 高精度——不包括需要利用多项式的高精度，其思想类似于纸笔模拟计算 4. 整除性质—— $\gcd$ ， $\operatorname{lcm}$ ，欧拉函数，费马小定理，筛素数，应用颇广 5. 同余相关——exgcd，逆元，中国剩余定理，解同余方程组 6. 概率期望——概率 DP，以及有可能用到高斯消元解决的概率 DP 7. 排列组合——杨辉三角，二项式定理，卢卡斯定理，卡特兰数 8. 数论问题——素数（质数），快速幂，找规律 ## 常见符号 在学习数论的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。 ### 复杂度函数 1. 大 $O$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ |f(x)|\leq M|g(x)|$ ，我们就可以认为， $f(x)=O(g(x))$ 。 2. 大 $\Omega$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ f(x)\geq Mg(x)$ ，我们就可以认为， $f(x)=\Omega (g(x))$ . 大 $O$ 与大 $\Omega$ 恰好相反，即 $f(x)=O(g(x))\Leftrightarrow g(x)=\Omega(f(x))$ 。 3. 大 $\Theta$ 符号：大 $\Theta$ 符号是大 $\text{O}$ 和大 $\Omega$ 的结合，即 $f(x)=O(g(x))\wedge f(x)=\Omega(g(x))\ \Rightarrow f(x)=\Theta(g(x))$ 。 ### 整除/同余理论常见符号 1. 整除符号： $x\mid y$ ，表示 $x$ 整除 $y$ ，即 $x$ 是 $y$ 的因数。 2. 取模符号： $x\bmod y$ ，表示 $x$ 除以 $y$ 得到的余数。 3. 互质符号： $x\perp y$ ，表示 $x$ , $y$ 互质。 4. 最大公约数： $\gcd(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $(x,y)$ 。 5. 最小公倍数： $\operatorname{lcm}(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $[x,y]$ 。 ### 数论函数常见符号 求和符号： $\sum$ 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子： - $\sum_{i=1}^n i$ 表示 $1+2+\dotsb+n$ 的和。其中 $i$ 是一个变量，在求和符号的意义下 $i$ 通常是 **正整数或者非负整数** （除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为， $i$ 从 $1$ 循环到 $n$ ，所有 $i$ 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$ 。 - $\sum_{S\subseteq T}|S|$ 表示所有被 $T$ 包含的集合的大小的和。 - $\sum_{p\le n,p\perp n}1$ 表示的是 $n$ 以内有多少个与 $n$ 互质的数，即 $\varphi(n)$ ， $\varphi$ 是欧拉函数。 求积符号： $\prod$ 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子： - $\prod_{i=1}^ni$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!$ 。在组合数学常见符号中会讲到。 - $\prod_{i=1}^na_i$ 表示 $a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n$ 。 - $\prod_{x|d}x$ 表示 $d$ 的所有因数的乘积。 在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。 ### 其他常见符号 1. 阶乘符号 $!$ ， $n!$ 表示 $1\times 2\times 3\times \dotsb \times n$ 。 2. 向下取整符号： $\lfloor x\rfloor$ ，表示小于等于 $x$ 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 $\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor$ 。 3. 向上取整符号： $\lceil x\rceil$ ，与向下取整符号相对，表示大于等于 $x$ 的最小的整数。 ## 温馨提示 在「基础知识」一栏中介绍了在 OI 中可能用到的重要高中数学知识。 如果您是高中 OIer，强烈建议您回班级听课，相比于自学，老师讲课可以使您理解得更透彻。 该栏目按照从必修到选修的顺序介绍。所有内容均基于《普通高中课程标准实验教科书 数学》（人教 A 版）。 另外，还请大家学好高一数学，这样学习数论的时侯会省很多功夫。 另外，建议学好高中数学，这样的话在学习本部分时会有所帮助。 No newline at end of file
docs/math/sign.md 0 → 100644 +39 −0 Original line number Diff line number Diff line author: sshwy, hsfzLZH1, Enter-tainer 在学习数学的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。 ### 复杂度函数 1. 大 $O$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ |f(x)|\leq M|g(x)|$ ，我们就可以认为， $f(x)=O(g(x))$ 。 2. 大 $\Omega$ 符号：当且仅当存在正实数 $M$ 和实数 $x_0$ ，使得 $\forall x\geq x_0,\ f(x)\geq Mg(x)$ ，我们就可以认为， $f(x)=\Omega (g(x))$ . 大 $O$ 与大 $\Omega$ 恰好相反，即 $f(x)=O(g(x))\Leftrightarrow g(x)=\Omega(f(x))$ 。 3. 大 $\Theta$ 符号：大 $\Theta$ 符号是大 $\text{O}$ 和大 $\Omega$ 的结合，即 $f(x)=O(g(x))\wedge f(x)=\Omega(g(x))\ \Rightarrow f(x)=\Theta(g(x))$ 。 ### 整除/同余理论常见符号 1. 整除符号： $x\mid y$ ，表示 $x$ 整除 $y$ ，即 $x$ 是 $y$ 的因数。 2. 取模符号： $x\bmod y$ ，表示 $x$ 除以 $y$ 得到的余数。 3. 互质符号： $x\perp y$ ，表示 $x$ , $y$ 互质。 4. 最大公约数： $\gcd(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $(x,y)$ 。 5. 最小公倍数： $\operatorname{lcm}(x,y)$ ，在无混淆意义的时侯可以写作 $[x,y]$ 。 ### 数论函数常见符号 求和符号： $\sum$ 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子： - $\sum_{i=1}^n i$ 表示 $1+2+\dotsb+n$ 的和。其中 $i$ 是一个变量，在求和符号的意义下 $i$ 通常是 **正整数或者非负整数** （除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为， $i$ 从 $1$ 循环到 $n$ ，所有 $i$ 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$ 。 - $\sum_{S\subseteq T}|S|$ 表示所有被 $T$ 包含的集合的大小的和。 - $\sum_{p\le n,p\perp n}1$ 表示的是 $n$ 以内有多少个与 $n$ 互质的数，即 $\varphi(n)$ ， $\varphi$ 是欧拉函数。 求积符号： $\prod$ 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子： - $\prod_{i=1}^ni$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!$ 。在组合数学常见符号中会讲到。 - $\prod_{i=1}^na_i$ 表示 $a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n$ 。 - $\prod_{x|d}x$ 表示 $d$ 的所有因数的乘积。 在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。 ### 其他常见符号 1. 阶乘符号 $!$ ， $n!$ 表示 $1\times 2\times 3\times \dotsb \times n$ 。 2. 向下取整符号： $\lfloor x\rfloor$ ，表示小于等于 $x$ 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 $\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor$ 。 3. 向上取整符号： $\lceil x\rceil$ ，与向下取整符号相对，表示大于等于 $x$ 的最小的整数。 No newline at end of file
