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算法流程就是记录每一个数出现了多少次，然后从小到大依次输出。

一般考虑的是某一范围内的整数，但是计数排序也可以和[离散化](/misc/discrete)一起使用，来对浮点数、大整数进行排序。

#### Problem

[AtCoder Grand Contest 032 B](<https://atcoder.jp/contests/agc032/tasks/agc032_b>)

[AtCoder Grand Contest 032 B](https://atcoder.jp/contests/agc032/tasks/agc032_b)

#### Solution

#### Problem

[BZOJ4971:[Lydsy1708月赛]记忆中的背包](<https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4971>)

[BZOJ4971:\[Lydsy1708 月赛\] 记忆中的背包](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4971)

#### Solution

1.  如何给一堆数字排序？答：分成两半，先排左半边再排右半边，最后合并就行了，至于怎么排左边和右边，请重新阅读这句话。

2.  孙悟空身上有多少根毛？答：一根毛加剩下的毛。

3. 你今年几岁？ 答：去年的岁数加一岁,1999 年我出生。

3.  你今年几岁？答：去年的岁数加一岁，1999 年我出生。

递归代码最重要的两个特征：结束条件和自我调用。自我调用是在解决子问题，而结束条件定义了最简子问题的答案。

}

```

其实仔细想想， **递归运用最成功的是什么？我认为是数学归纳法。** 我们高中都学过数学归纳法，使用场景大概是：我们推不出来某个求和公式，但是我们试了几个比较小的数，似乎发现了一点规律，然后编了一个公式，看起来应该是正确答案。但是数学是很严谨的，你哪怕穷举了一万个数都是正确的，但是第一万零一个数正确吗？这就要数学归纳法发挥神威了，可以假设我们编的这个公式在第 k 个数时成立，如果证明在第 k + 1 时也成立，那么我们编的这个公式就是正确的。

那么数学归纳法和递归有什么联系？我们刚才说了，递归代码必须要有结束条件，如果没有的话就会进入无穷无尽的自我调用，直到内存耗尽。而数学证明的难度在于，你可以尝试有穷种情况，但是难以将你的结论延伸到无穷大。这里就可以看出联系了——无穷。

    sort(a, mid + 1, hi);

    merge(a, lo, mid, hi);

}

```

看起来简洁漂亮是一方面，关键是 **可解释性很强** ：把左半边排序，把右半边排序，最后合并两边。而非递归版本看起来不知所云，充斥着各种难以理解的边界计算细节，特别容易出 bug 且难以调试，人生苦短，我更倾向于递归版本。

}

```

### 写递归的技巧

我的一点心得是： **明白一个函数的作用并相信它能完成这个任务，千万不要试图跳进细节。** 千万不要跳进这个函数里面企图探究更多细节，否则就会陷入无穷的细节无法自拔，人脑能压几个栈啊。

```cpp

void traverse(TreeNode* root) {

  if (root == nullptr) return;

    for (child : root->children)

        traverse(child);

  for (child : root->children) traverse(child);

}

```

至于遍历的什么前、中、后序，那都是显而易见的，对于 N 叉树，显然没有中序遍历。

以下 **详解 LeetCode 的一道题来说明** ：给一棵二叉树，和一个目标值，节点上的值有正有负，返回树中和等于目标值的路径条数，让你编写 pathSum 函数：

```

    /* 来源于 LeetCode PathSum III： https://leetcode.com/problems/path-sum-iii/ */

    root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], sum = 8

    1.  5 -> 3

    2.  5 -> 2 -> 1

    3. -3 -> 11

```

```cpp

/* 看不懂没关系，底下有更详细的分析版本，这里突出体现递归的简洁优美 */

}

int count(TreeNode node, int sum) {

  if (node == null) return 0;

    return (node.val == sum) + count(node.left, sum - node.val) + count(node.right, sum - node.val);

  return (node.val == sum) + count(node.left, sum - node.val) +

         count(node.right, sum - node.val);

}

```

  if (root == null) return 0;

  int pathImLeading = count(root, sum);  // 自己为开头的路径数

  int leftPathSum = pathSum(root.left, sum);  // 左边路径总数（相信他能算出来）

    int rightPathSum = pathSum(root.right, sum); // 右边路径总数（相信他能算出来）

  int rightPathSum =

      pathSum(root.right, sum);  // 右边路径总数（相信他能算出来）

  return leftPathSum + rightPathSum + pathImLeading;

}

int count(TreeNode node, int sum) {

LeetCode 有递归专题练习，[点这里去做题](https://leetcode.com/explore/learn/card/recursion-i/)

### 递归优化

比较 naive 的递归实现可能递归次数太多，容易超时。

怎么优化呢？详见[搜索优化](/search/optimization)和[记忆化搜索](/dp/memo/)。

## 分治算法

 **归并排序** ，典型的分治算法；分治，典型的递归结构。

LeetCode 上有分治算法的专项练习，[点这里去做题](https://leetcode.com/tag/divide-and-conquer/)

本文主要贡献者：[fudonglai](https://github.com/fudonglai)

fclose(stdout);

```

!!! 注

    `printf/scanf/cin/cout`等函数默认使用 `stdin/stdout`，将 `stdin/stdout`重定向后，这些函数将输入 / 输出到被定向的文件

!!! 注 `printf/scanf/cin/cout` 等函数默认使用 `stdin/stdout` ，将 `stdin/stdout` 重定向后，这些函数将输入/输出到被定向的文件

### 模板

fclose(stdout);

```

## C++ 的 `ifstream/ofstream` 文件输入输出流

### 使用方法

用排序法常见的情况是输入一个包含几个（一般一到两个）权值的数组，通过排序然后遍历模拟计算的方法求出最优值。

有些题的排序方法非常显然，如 [Luogu P1209 [USACO1.3]修理牛棚 Barn Repair](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1209) 就是将输入数组差分后排序模拟求值。

有些题的排序方法非常显然，如[Luogu P1209 \[USACO1.3\] 修理牛棚 Barn Repair](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1209)就是将输入数组差分后排序模拟求值。

然而有些时候很难直接一下子看出排序方法，比如[NOIP 2012 国王游戏](https://vijos.org/p/1779)就很容易凭直觉而错误地以 $a$ 或 $b$ 为关键字排序，过样例之后提交就发现 WA 了 QAQ。一个~~众所周知的~~常见办法就是尝试交换数组相邻的两个元素来 **推导** 出正确的排序方法。我们假设这题输入的俩个数用一个结构体来保存

~~看上去是不是很简单呢（这题高精度卡常……）~~  

如果看懂了就可以尝试下一道类似的题：[Luogu P2123 皇后游戏](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2123)

## 后悔法

??? note " 例题[Luogu P2949\[USACO09OPEN\]工作调度 Work Scheduling](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2949)"