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author: sshwy, zhouyuyang2002, StudyingFather, Ir1d, ouuan, Enter-tainer

本文介绍一种不太常用，但是与大家熟知的平衡树与堆密切相关的数据结构——笛卡尔树。

笛卡尔树是一种二叉树，每一个结点由一个键值二元组 $(k,w)$ 构成。要求 $k$ 满足二叉搜索树的性质，而 $w$ 满足堆的性质。一个有趣的事实是，如果笛卡尔树的 $k,w$ 键值确定，且 $k$ 互不相同， $w$ 互不相同，那么这个笛卡尔树的结构是唯一的。上图：

## 构建

既然笛卡尔树有具有两种不同结构的性质，那么就有两种构建方法。其中一种的复杂度是 $O(n)$ ，另一种是 $O(n\log n)$ 。

### 栈构建

## 栈构建

我们考虑将元素按照键值 $k$ 排序。然后一个一个插入到当前的笛卡尔树中。那么每次我们插入的元素必然在这个树的右链（右链：即从根结点一直往右子树走，经过的结点形成的链）的末端。于是我们执行这样一个过程，从下往上比较右链结点与当前结点 $u$ 的 $w$ ，如果找到了一个右链上的结点 $x$ 满足 $x_w<u_w$ ，就把 $u$ 接到 x 的右儿子上，而 x 原本的右子树就变成 u 的左子树。

![build](./images/cartesian-tree2.png)

显然每个数最多进出右链一次（或者说每个点在右链中存在的是一段连续的时间）。这个过程我们可以用栈维护，栈中维护当前笛卡尔树的右链上的结点。一个点不在右链上了就把它弹掉。这样每个点最多进出一次，复杂度 $O(n)$ 。

## 另一种构建

还有一种构建方式与之对应。我们按照 $w$ 排序，始终维护堆的结构。这样插入一个结点，相当于添加一个叶子结点。于是我们像平衡树那样插入就行了。这样每一次插入的复杂度是 $O(\log n)$ 的，因此总复杂度是 $O(n\log n)$ 的。

显然每个数最多进出右链一次（或者说每个点在右链中存在的是一段连续的时间）。这个过程我们可以用栈维护，栈中维护当前笛卡尔树的右链上的结点。一个点不在右链上了就把它弹掉。这样每个点最多进出一次，复杂度 $O(n)$ 。伪代码如下：

```text

新建一个大小为n的空栈。

For i:=1 to n

    flag = 0

    While 栈不为空

        if 栈顶元素<当前元素

            栈顶元素.右儿子=当前元素

            break

        else

            栈顶元素.右儿子=当前元素.左儿子。

            当前元素.左儿子=栈顶元素

            栈顶元素出栈

        当前元素入栈。

```

## 笛卡尔树与 Treap

这道题你可 DP，可单调栈，但你万万没想到的是它也可以笛卡尔树！具体地，我们把下标作为键值 $k$ ， $h_i$ 作为键值 $w$ 满足小根堆性质，构建一棵 $(i,h_i)$ 的笛卡尔树。

这样我们枚举每个结点 $u$ ，把 $u_w$ （即结点 u 的高度键值 $h$ ）作为最大子矩阵的高度。由于我们建立的笛卡尔树满足小根堆性质，因此 $u$ 的子树内的结点的高度都大于等于 $u$ 。而我们又知道 $u$ 子树内的下标是一段连续的区间。于是我们只需要知道子树内的下标最小值和最大值即可，换言之，就是 $u$ 子树内的左链和右链末端的结点的下标键值。我们对每个点这样求，最后取面积最大值即可。显然这个可以一次 DFS 完成，因此复杂度仍是 $O(n)$ 的。

这样我们枚举每个结点 $u$ ，把 $u_w$ （即结点 u 的高度键值 $h$ ）作为最大子矩阵的高度。由于我们建立的笛卡尔树满足小根堆性质，因此 $u$ 的子树内的结点的高度都大于等于 $u$ 。而我们又知道 $u$ 子树内的下标是一段连续的区间。于是我们只需要知道子树的大小，然后就可以算这个区间的最大子矩阵的面积了。用每一个点计算出来的值更新答案即可。显然这个可以一次 DFS 完成，因此复杂度仍是 $O(n)$ 的。

```cpp

#include <algorithm>

    这样子我们只需要在询问的时候进行至多一次 ST 表上的查询操作了。

## 笛卡尔树以及其构造

在实现更加优秀的时间复杂度之前，我们先来介绍一个数据结构：笛卡尔树。

笛卡尔树  (Cartesian tree) 的本质是一个二叉小根/大根堆。同时笛卡尔数满足对其中序遍历的结果等于原来的数组 A。

下面是一个笛卡尔树的具体例子：

![](./images/rmq1.jpg)

接下来笔者将讲述一个构造笛卡尔树的 $O(n)$ 算法。

```text

新建一个大小为n的空栈。

For i:=1 to n

    flag = 0

    While 栈不为空

        if 栈顶元素<当前元素

            栈顶元素.右儿子=当前元素

            break

        else

            栈顶元素.右儿子=当前元素.左儿子。

            当前元素.左儿子=栈顶元素

            栈顶元素出栈

        当前元素入栈。

```

由于一个元素只会入栈一次，出栈一次，所以总复杂度为 $O(n)$ 。

## 笛卡尔树在 RMQ 上的应用

不了解笛卡尔树的朋友请移步 [笛卡尔树](../ds/cartesian-tree.md) 。

我们发现，原序列上两个点之间的 min/max，等于笛卡尔树上两个点的 LCA 的权值。

这也说明，我们现在需要去解决的是如何 $O(n)-O(1)$ 树上两个点之间的 LCA 的。