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@@ -88,7 +88,7 @@ $f_i+2\times s_i\times (s_j+L')=f_j+s_i^2+(s_j+L')^2$

我们观察到,式子的右端的所有项都只和 $i$ 有关或只和 $j$ 有关,式子左端的第一项是我们要求的目标值,式子左端的其余项都同时和 $i$ 和 $j$ 有关。我们将这个式子看作一条直线的函数解析式,形如 $b+k\times x=y$ ,和上式一一对应。我们发现如果我们要最小化 $f_i$ ,也就是说要最小化这个直线的截距,而对于每个确定的 $i$,这个直线的斜率 $s_i$ 都是确定的。

![](https://cdn.luogu.org/upload/pic/13267.png)
![](./images/optimization.png)

如图,我们将这个斜率固定的直线从下往上平移,直到有一个点在这条直线上,然后将新的点加入点集,这样肯定能保证所有的直线的斜率都是单调递升的(因为如果新的直线斜率小于斜率最大的直线,那么其一定不成被选择成为新的决策),所以我们相当于维护了一个下凸包。(如果求的是 $\max$ 那么就要维护一个 ** 上凸包 ** 。这种东西要具体情况具体分析,如果直线的斜率不满足单调性,那就要维护整个凸包 / 二分等奇技淫巧。)

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