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统一数学符号，统一码风，修正typo
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docs/math/simplex.md

+168 −185
Original line number Diff line number Diff line
@@ -40,7 +40,7 @@ $$ 


$$

s.t \begin{cases}  

\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j = b_j, i = 1,2,...,m\\ 

\displaystyle \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j = b_j, i = 1,2,...,m\\ 

xj \geq 0 , j = 1,2,...,n  \\

\end{cases}

$$
@@ -71,7 +71,7 @@ $$ 


标准形的形式为：



- 1）目标函数要求max

- 1）目标函数要求 $\max$



- 2）约束条件均为等式
@@ -136,7 +136,7 @@ $$ 
还是通过上述具体的线性规划问题来说明：



$$

max \ z = x_1 + x_2

\max \ z = x_1 + x_2

$$



$$
@@ -147,7 +147,7 @@ x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0 
\end{cases}

$$



如果选择 $x_2$ 、$x_3$ 为基变量，那么令 $x_1$、$x_4$ 等于 $0$ ，可以去求解基变量 $x_2$ 、$x_3$ 的值。对系数矩阵做行变换，如下所示，$x_2=9/2$ ，$x_3=15/2$。

如果选择 $x_2​$ 、$x_3​$ 为基变量，那么令 $x_1​$、$x_4​$ 等于 $0​$ ，可以去求解基变量 $x_2​$ 、$x_3​$ 的值。对系数矩阵做行变换，如下所示，$x_2=9/2​$ ，$x_3=15/2​$。



$$

\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{X}} & {x_{1}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} & {b} \\ {} & {2} & {1} & {1} & {0} & {12} \\ {} & {1} & {2} & {0} & {1} & {9} \\ {\mathrm{C}} & {1} & {1} & {0} & {0} & {z}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{X}} & {x_{1}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} & {b} \\ {} & {\frac{3}{2}} & {0} & {1} & {-\frac{1}{2}} & {\frac{15}{2}} \\ {} & {\frac{1}{2}} & {1} & {0} & {\frac{1}{2}} & {\frac{9}{2}} \\ {\mathrm{C}} & {\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {z-\frac{9}{2}}\end{array}\right]
@@ -293,37 +293,30 @@ double Z; 
set<int> P;

size_t cn, bn;



bool Pivot(pair<size_t, size_t> &p)//返回0表示所有的非轴元素都小于0

{

bool Pivot(pair<size_t, size_t> &p) { //返回0表示所有的非轴元素都小于0

	int x = 0, y = 0;

	double cmax = -INT_MAX;

	vector<double> C = Matrix[0];

	vector<double> B;



    for( size_t i = 0 ; i < bn ; i++ )

    {

	for(size_t i = 0 ; i < bn ; i++) {

		B.push_back(Matrix[i][cn - 1]);

	}



    for( size_t i = 0 ; i < C.size(); i++ )//在非轴元素中找最大的c

    {

        if( cmax < C[i] && P.find(i) == P.end())

        {

	for(size_t i = 0 ; i < C.size(); i++) { //在非轴元素中找最大的c

		if(cmax < C[i] && P.find(i) == P.end()) {

			cmax = C[i];

			y = i;

		}

	}

    if( cmax < 0 )

    {

	if(cmax < 0) {

		return 0;

	}



	double bmin = INT_MAX;

    for( size_t i = 1 ; i < bn ; i++ )

    {

	for(size_t i = 1 ; i < bn ; i++) {

		double tmp = B[i] / Matrix[i][y];

       if( Matrix[i][y] != 0 && bmin > tmp )

       {

		if(Matrix[i][y] != 0 && bmin > tmp) {

			bmin = tmp;

			x = i;

		}
@@ -331,10 +324,8 @@ bool Pivot(pair<size_t, size_t> &p)//返回0表示所有的非轴元素都小于 


	p = make_pair(x, y);



    for( set<int>::iterator it = P.begin() ; it != P.end() ; it++)

    {

        if( Matrix[x][*it] != 0 )

        {

	for(set<int>::iterator it = P.begin() ; it != P.end() ; it++) {

		if(Matrix[x][*it] != 0) {

			//cout<<"erase "<<*it<<endl;

			P.erase(*it);

			break;
@@ -345,12 +336,9 @@ bool Pivot(pair<size_t, size_t> &p)//返回0表示所有的非轴元素都小于 
	return true;

}



void pnt()

{

    for( size_t i = 0 ; i < Matrix.size() ; i++ )

    {

        for( size_t j = 0 ; j < Matrix[0].size() ; j++ )

        {

void pnt() {

	for(size_t i = 0 ; i < Matrix.size() ; i++) {

		for(size_t j = 0 ; j < Matrix[0].size() ; j++) {

			cout << Matrix[i][j] << "\t";

		}

		cout << endl;
@@ -358,42 +346,33 @@ void pnt() 
	cout << "result z:" << -Matrix[0][cn - 1] << endl;

}



void Gaussian(pair<size_t, size_t> p)//行变换

{

void Gaussian(pair<size_t, size_t> p) { //行变换

	size_t  x = p.first;

	size_t y = p.second;

	double norm = Matrix[x][y];

    for( size_t i = 0 ; i < cn ; i++ )//主行归一化

    {

	for(size_t i = 0 ; i < cn ; i++) { //主行归一化

		Matrix[x][i] /= norm;

	}

    for( size_t i = 0 ; i < bn && i != x; i++ )

    {

        if( Matrix[i][y] != 0)

        {

	for(size_t i = 0 ; i < bn && i != x; i++) {

		if(Matrix[i][y] != 0) {

			double tmpnorm = Matrix[i][y];

            for( size_t j = 0 ; j < cn ; j++ )

            {

			for(size_t j = 0 ; j < cn ; j++) {

				Matrix[i][j] = Matrix[i][j] - tmpnorm * Matrix[x][j];

			}

		}

	}

}



void solve()

{

void solve() {

	pair<size_t, size_t> t;

    while(1)

    {

	while(1) {



		pnt();

        if( Pivot(t) == 0 )

        {

		if(Pivot(t) == 0) {

			return;

		}

		cout << t.first << " " << t.second << endl;

        for( set<int>::iterator it = P.begin(); it != P.end()  ; it++ )

        {

		for(set<int>::iterator it = P.begin(); it != P.end()  ; it++) {

			cout << *it << " ";

		}

		cout << endl;
@@ -401,16 +380,13 @@ void solve() 
	}

}



int main(int argc, char *argv[])

{

int main(int argc, char *argv[]) {

	//ifstream fin;

	//fin.open("./test");

	cin >> cn >> bn;

    for( size_t i = 0 ; i < bn ; i++ )

    {

	for(size_t i = 0 ; i < bn ; i++) {

		vector<double> vectmp;

        for( size_t j = 0 ; j < cn ; j++)

        {

		for(size_t j = 0 ; j < cn ; j++) {

			double tmp = 0;

			cin >> tmp;

			vectmp.push_back(tmp);
@@ -418,8 +394,7 @@ int main(int argc, char *argv[]) 
		Matrix.push_back(vectmp);

	}



    for( size_t i = 0 ; i < bn-1 ; i++ )

    {

	for(size_t i = 0 ; i < bn - 1 ; i++) {

		P.insert(cn - i - 2);

	}

	solve();
@@ -459,7 +434,7 @@ int main(int argc, char *argv[]) 


### 6.1 标准型



$m+n$ 个约束 $n$ 个变量用 $x$ 向量表示，$A$ 是一个 $m*n$ 的矩阵，$c$ 是一个 $n$ 的向量，$b$ 是一个 $m$ 的向量，最大化 $cx$ 满足约束 $Ax \leq b,x > 0$。

$m+n$ 个约束 $n$ 个变量用 $x$ 向量表示，$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$c$ 是一个 $n$ 的向量，$b$ 是一个 $m$ 的向量，最大化 $cx$ 满足约束 $Ax \leq b,x > 0$。



最大化 $\sum_{j=1}^nc_jx_j$ 满足如下约束条件：

$$
@@ -484,7 +459,7 @@ $$ 


### 6.2 转换为标准型



若目标函数要求取最小值，那么可以对其取相反数变成取最大值。对于限制条件 $f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = b$，可以用两个不等式 $f(x_1, x2, \ldots, x_n) \leq b,-f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \leq -b$ 描述，对于限制条件 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq b$，可以用不等式 $-f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \leq -b$ 描述。对于无限制的变量 $x$，可以将其拆为两个非负变量 $x_0,x_1$，使得 $x = x_0 - x_1$。

若目标函数要求取最小值，那么可以对其取相反数变成取最大值。对于限制条件 $f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = b$，可以用两个不等式 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \leq b,-f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \leq -b$ 描述，对于限制条件 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq b$，可以用不等式 $-f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \leq -b$ 描述。对于无限制的变量 $x$，可以将其拆为两个非负变量 $x_0,x_1$，使得 $x = x_0 - x_1$。



### 6.3 松弛型
@@ -505,15 +480,15 @@ $$ 


### 6.5 可行解



- 基本解：所有非基变量设为0，基本变量为右侧的常数

- 基本解：所有非基变量设为 $0​$，基本变量为右侧的常数



- 基本可行解：所有 $b_i \geq 0$

- 基本可行解：所有 $b_i \geq 0​$



> 注：单纯形法的过程中B和N不断交换，在n维空间中不断走，“相当于不等式上的高斯消元”。



### 6.6 转轴



选取一个非基本变量 $x_e$ 为替入变量，基本变量 $x_l$ 为替出变量，将其互换，为了防止循环，根据 **Bland规则** ，选择下标最小的变量。

选取一个非基本变量 $x_e​$ 为替入变量，基本变量 $x_l​$ 为替出变量，将其互换，为了防止循环，根据 **Bland规则** ，选择下标最小的变量。



> **Bland规则** 可以参看：[最优化方法](https://github.com/AngelKitty/review_the_national_post-graduate_entrance_examination/blob/master/books_and_notes/professional_courses/data_structures_and_algorithms/sources/extra_books/%E6%9C%80%E4%BC%98%E5%8C%96%E6%96%B9%E6%B3%95.pdf)
@@ -534,24 +509,24 @@ $$ 


基本思想就是改写 $l$ 这个约束为 $x_e$ 作为基本变量，然后把这个新 $x_e$ 的值带到其他约束和目标函数中，就消去 $x_e$ 了。改写和带入时要修改 $b$ 和 $a$，目标函数则是 $c$ 和 $v$。 



转动时，$l$ 和 $e$ 并没有像算法导论上一样，$a$ 矩阵用了两行分别是 $a[l][ \ ]$和 $a[e][ \ ]$（这样占用内存大），而是用了同一行，这样 $a$ 矩阵的行数 $=|B|$，列数 $=|N|$。

转动时，$l$ 和 $e$ 并没有像算法导论上一样，$a$ 矩阵用了两行分别是 $a_{l, \square}$ 和 $a_{e, \square}$（这样占用内存大），而是用了同一行，这样 $a$ 矩阵的行数 $=|B|$，列数 $=|N|$。



也就是说，约束条件只用 $m$ 个，尽管 $B$ 和 $N$ 不断交换，但同一时间还是只有 $m$ 个约束(基本变量)，$n$ 个非基变量，注意改写成松弛型后 $a$ 矩阵实际系数为负。（一个优化 $a[i][e]$为 $0$ 的约束没必要带入了。

也就是说，约束条件只用 $m$ 个，尽管 $B$ 和 $N$ 不断交换，但同一时间还是只有 $m$ 个约束(基本变量)，$n$ 个非基变量，注意改写成松弛型后 $a$ 矩阵实际系数为负。（一个优化为 $a_{i,e}$ 的约束没必要带入了。



`simplex` 是主过程，基本思想是找到一个 $c[e]>0$ 的，然后找对这个 $e$ 限制最紧的 $l$ ，转动这组 $l,e$，注意精度控制 $eps$，$c[e]>eps$， 还有找 $l$ 的时候 $a[i][e]>eps$ 才行。

`simplex` 是主过程，基本思想是找到一个 $c_e>0$ 的，然后找对这个 $e$ 限制最紧的 $l$ ，转动这组 $l,e$，注意精度控制 $\epsilon$，$c_e>\epsilon$， 还有找 $l$ 的时候 $a_{i,e}>\epsilon​$ 才行。



??? note " 例题 [BZOJ1061 志愿者招募](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1061)"

    题目大意：长度为 $n$ 的序列，第 $i$ 位至少 $b_i$，$m$ 种区间使 $[l_i,r_i] + 1$ 代价为 $a_i$。

    题目大意：长度为 $n​$ 的序列，第 $i​$ 位至少 $b_i​$，$m​$ 种区间使 $[l_i,r_i] + 1​$ 代价为 $a_i​$。



原始问题 $m$ 个变量，$n$ 个约束，当 $l_j \leq i \leq r_j$，$a_{ij} = 1$。

原始问题 $m​$ 个变量，$n​$ 个约束，当 $l_j \leq i \leq r_j​$，$a_{ij} = 1​$。



对偶问题 $n$ 个变量，$m$ 个约束

对偶问题 $n​$ 个变量，$m​$ 个约束

$$

\max \ \sum_{i=1}nb_iy_i

$$



$$

Sat \ \sum_{l_i \leq j \leq r_i}y_j \leq c_i, y_i \geq 0

s.t \ \sum_{l_i \leq j \leq r_i}y_j \leq c_i, y_i \geq 0

$$



把对应出的系数矩阵带入到单纯形算法就可以求出最优解了。
@@ -567,9 +542,16 @@ typedef long long ll; 
const int M = 10005, N = 1005, INF = 1e9;

const double eps = 1e-6;

inline int read() {

    char c=getchar();int x=0,f=1;

    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}

    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}

	char c = getchar();

	int x = 0, f = 1;

	while(c < '0' || c > '9') {

		if(c == '-')f = -1;

		c = getchar();

	}

	while(c >= '0' && c <= '9') {

		x = x * 10 + c - '0';

		c = getchar();

	}

	return x * f;

}
@@ -607,7 +589,8 @@ double simplex(){ 
}



int main() {

    n=read();m=read();

	n = read();

	m = read();

	for(int i = 1; i <= n; i++) c[i] = read();

	for(int i = 1; i <= m; i++) {

		int s = read(), t = read();
@@ -636,7 +619,7 @@ $$ 
$$



$$

Sat \begin{cases}  

s.t \begin{cases}  

\sum_{(v) \in Y} d_{uv} \leq 1, u \in X \\ 

\sum_{(u) \in X} d_{uv} \leq 1, v \in Y  \\

d_{u,v} \in \{0,1\}
@@ -649,7 +632,7 @@ $$ 
$$



$$

Sat \begin{cases}  

s.t \begin{cases}  

p_u + p_v \geq c_{uv} \\ 

u \in X, v \in Y\\

p_u, p_v \geq 0