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C++ 代码：

```cpp

// 假设数组的大小是n+1，冒泡排序从数组下标1开始

void bubble_sort(int *a, int n) {

  bool flag = true;

  while (flag) {

author: fudonglai

author: fudonglai, AngelKitty

首先简单阐述一下递归，分治算法，动态规划，贪心算法这几个东西的区别和联系，心里有个印象就好。

}

```

其实仔细想想， **递归运用最成功的是什么？我认为是数学归纳法。** 我们高中都学过数学归纳法，使用场景大概是：我们推不出来某个求和公式，但是我们试了几个比较小的数，似乎发现了一点规律，然后编了一个公式，看起来应该是正确答案。但是数学是很严谨的，你哪怕穷举了一万个数都是正确的，但是第一万零一个数正确吗？这就要数学归纳法发挥神威了，可以假设我们编的这个公式在第 k 个数时成立，如果证明在第 k + 1 时也成立，那么我们编的这个公式就是正确的。

其实仔细想想， **递归运用最成功的是什么？我认为是数学归纳法。** 我们高中都学过数学归纳法，使用场景大概是：我们推不出来某个求和公式，但是我们试了几个比较小的数，似乎发现了一点规律，然后猜想了一个公式，看起来应该是正确答案。但是数学是很严谨的，你哪怕穷举了一万个数都是正确的，但是第一万零一个数正确吗？这就要数学归纳法发挥神威了，可以假设我们猜想的这个公式在第 k 个数时成立，如果证明在第 k + 1 时也成立，那么我们猜想的这个公式就是正确的。

那么数学归纳法和递归有什么联系？我们刚才说了，递归代码必须要有结束条件，如果没有的话就会进入无穷无尽的自我调用，直到内存耗尽。而数学证明的难度在于，你可以尝试有穷种情况，但是难以将你的结论延伸到无穷大。这里就可以看出联系了——无穷。

递归代码的精髓在于调用自己去解决规模更小的子问题，直到到达结束条件；而数学归纳法之所以有用，就在于不断把我们的猜测向上加一，扩大结论的规模，没有结束条件，从而把结论延伸到无穷无尽，也就完成了猜测正确性的证明。

递归代码的精髓在于调用自身去解决规模更小的子问题，直到到达结束条件；而数学归纳法之所以有用，就在于不断把我们的猜测向上加一，扩大结论的规模，没有结束条件，从而把结论延伸到无穷无尽，也就完成了猜测正确性的证明。

### 为什么要写递归

题目看起来很复杂吧，不过代码却极其简洁，这就是递归的魅力。我来简单总结这个问题的 **解决过程** ：

首先明确，递归求解树的问题必然是要遍历整棵树的，所以 **二叉树的遍历框架** （分别对左右孩子递归调用函数本身）必然要出现在主函数 pathSum 中。那么对于每个节点，他们应该干什么呢？他们应该看看，自己和脚底下的小弟们包含多少条符合条件的路径。好了，这道题就结束了。

首先明确，递归求解树的问题必然是要遍历整棵树的，所以 **二叉树的遍历框架** （分别对左右孩子递归调用函数本身）必然要出现在主函数 pathSum 中。那么对于每个节点，它们应该干什么呢？它们应该看看，自己和脚底下的小弟们包含多少条符合条件的路径。好了，这道题就结束了。

按照前面说的技巧，根据刚才的分析来定义清楚每个递归函数应该做的事：

PathSum 函数：给他一个节点和一个目标值，他返回以这个节点为根的树中，和为目标值的路径总数。

PathSum 函数：给它一个节点和一个目标值，它返回以这个节点为根的树中，和为目标值的路径总数。

count 函数：给他一个节点和一个目标值，他返回以这个节点为根的树中，能凑出几个以该节点为路径开头，和为目标值的路径总数。

count 函数：给它一个节点和一个目标值，它返回以这个节点为根的树中，能凑出几个以该节点为路径开头，和为目标值的路径总数。

```cpp

/* 有了以上铺垫，详细注释一下代码 */

}

```

还是那句话， **明白每个函数能做的事，并相信他们能够完成。** 

还是那句话， **明白每个函数能做的事，并相信它们能够完成。** 

总结下，PathSum 函数提供的二叉树遍历框架，在遍历中对每个节点调用 count 函数，看出先序遍历了吗（这道题什么序都是一样的）；count 函数也是一个二叉树遍历，用于寻找以该节点开头的目标值路径。好好体会吧！

}

```

好了，这个算法也就这样了，完全没有任何难度。记住之前说的，相信函数的能力，传给他半个数组，那么这半个数组就已经被排好了。而且你会发现这不就是个二叉树遍历模板吗？为什么是后序遍历？因为我们分治算法的套路是 **分解 -> 解决（触底）-> 合并（回溯）** 啊，先左右分解，再处理合并，回溯就是在退栈，就相当于后序遍历了。至于 `merge` 函数，参考两个有序链表的合并，简直一模一样。

好了，这个算法也就这样了，完全没有任何难度。记住之前说的，相信函数的能力，传给它半个数组，那么这半个数组就已经被排好了。而且你会发现这不就是个二叉树遍历模板吗？为什么是后序遍历？因为我们分治算法的套路是 **分解 -> 解决（触底）-> 合并（回溯）** 啊，先左右分解，再处理合并，回溯就是在退栈，就相当于后序遍历了。至于 `merge` 函数，参考两个有序链表的合并，简直一模一样。

LeetCode 上有分治算法的专项练习， [点这里去做题](https://leetcode.com/tag/divide-and-conquer/) 

还有一点需要注意的是，很容易写出这样的错误核心代码：

```cpp

for (int i = 1; i <= W; i++)

for (int i = 1; i <= n; i++)

  for (int l = 0; l <= W - w[i]; l++)

    f[l + w[i]] = max(f[l] + v[i], f[l + w[i]]);

// 由 f[i][l + w[i]] = max(max(f[i - 1][l + w[i]],f[i - 1][l] + w[i]),f[i][l +

用块状链表后除了单点修改是 $O(1)$ 外其他都是 $O(n^{\frac{1}{2}})$ 的。

 `ETT` 不支持换根操作。对于链（区间）修改，分为两种情况，一是贡献相同（如 $\operatorname{xor}$ ) 是可以的，二是贡献不同（如 $\operatorname{sum}$ ) 是不行的。现在的主流做法毕竟是 `LCT` ，所以这些操作比较多，在避开这种操作的情况下运用这种做法还是不错的。

注：标准的 ETT（用欧拉回路而不是 dfs 括号序实现）是支持换根操作的，但是实现较为复杂。