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任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法解决，时间复杂度是 $O(n^2m)$ 的，也可以直接用 Floyd 算法解决，时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优，如果枚举起点，跑 $n$ 次 Dijkstra 算法，就可以在 $O((n^2+mn)\log m)$ 的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀。

注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优，如果枚举起点，跑 $n$ 次 Dijkstra 算法，就可以在 $O(nm\log m)$（取决于 Dijkstra 算法的实现）的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀，在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀。

但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路，因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负。

接下来以每个点为起点，跑 $n$ 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了。

容易看出，该算法的时间复杂度是 $O(nm+(n^2+nm)\log m)$ 。

一开始的 Bellman-Ford 算法并不是时间上的瓶颈，若使用 `priority_queue` 实现 Dijkstra 算法，该算法的时间复杂度是 $O(nm\log m)$ 。

### 正确性证明

上面的新图中 $s \to t$ 的最短路的长度表达式由两部分组成，前面的边权和为原图中 $s \to t$ 的最短路，后面则是两点间的势能差。因为两点间势能的差为定值，因此原图上 $s \to t$ 的最短路与新图上 $s \to t$ 的最短路相对应。

到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为只有在非负权图上，Dijkstra 才能得出正确的结果。

到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。

根据三角形不等式，图上任意一边 $(u,v)$ 上两点满足： $h_v \leq h_u + w(u,v)$ 。这条边重新标记后的边权为 $w'(u,v)=w(u,v)+h_u-h_v \geq 0$ 。这样我们证明了新图上的边权均非负。

| Floyd      | Bellman-Ford | Dijkstra           | Johnson                  |

| ---------- | ------------ | ------------------ | ------------------------ |

| 每对结点之间的最短路 | 单源最短路        | 单源最短路              | 每对结点之间的最短路               |

| 没有负环的图     | 任意图          | 非负权图               | 没有负环的图                   |

|  $O(N^3)$  |  $O(NM)$     |  $O((N+M)\log M)$  |  $O(NM+(N^2+NM)\log M)$  |

| 没有负环的图     | 任意图（可以判定负环是否存在） | 非负权图               | 没有负环的图                   |

|  $O(N^3)$  |  $O(NM)$     |  $O(M\log M)$  |  $O(NM\log M)$  |

注：表中的 Dijkstra 算法在计算复杂度时均用 `priority_queue` 实现。

## 输出方案