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### 转化为 RMQ 问题

### 用欧拉序列转化为 RMQ 问题

首先对树进行 dfs， `dfs(root, 1)` ，将深度和节点编号按顺序记录到数组中，并记录各个点在 dfs 序列中第一次出现的位置。

对一棵树进行 DFS，无论是第一次访问还是回溯，每次到达一个结点时都将编号记录下来，可以得到一个长度为 $2n-1$ 的序列，这个序列被称作这棵树的欧拉序列（可以看成是这棵树的一条欧拉回路所经过的节点构成的序列）。

在下文中，把结点 $u$ 在欧拉序列中第一次出现的位置编号记为 $pos(u)$ （也称作节点 $u$ 的欧拉序），把欧拉序列本身记作 $E[1..2n-1]$ 。

有了欧拉序列，LCA 问题可以在线性时间内转化为 RMQ 问题，即 $pos(LCA(u, v))=\min\{pos(k)|k\in E[pos(u)..pos(v)]\}$ 。

这个等式不难理解：从 $u$ 走到 $v$ 的过程中一定会经过 $LCA(u,v)$ ，但不会经过 $LCA(u,v)$ 的祖先。因此，从 $u$ 走到 $v$ 的过程中经过的欧拉序最小的结点就是 $LCA(u, v)$ 。

用 DFS 计算欧拉序列的时间复杂度是 $O(n)$ ，且欧拉序列的长度也是 $O(n)$ ，所以 LCA 问题可以在 $O(n)$ 的时间内转化成等规模的 RMQ 问题。

参考代码：

```cpp

int depth[N * 2], id[N * 2], loc[N];

int tot = 1;

void dfs(int x, int dep) {

  loc[x] = tot;

  depth[tot] = dep;

  id[tot] = x;

  tot++;

  for (int i = 0; i < v[x].size(); i++) {

    dfs(v[x][i], dep + 1);

    depth[tot] = dep;

    id[tot] = x;

    tot++;

  }

int dfn[N << 1], dep[N << 1], dfntot = 0;

void dfs(int t, int depth) {

  dfn[++dfntot] = t;

  pos[t] = dfntot;

  dep[dfntot] = depth;

  for (int i = head[t]; i; i = side[i].next) {

    dfs(side[i].to, t, depth + 1);

    dfn[++dfntot] = t;

    dep[dfntot] = depth;

  }

}

void st_preprocess() {

  lg[0] = -1; // 预处理 lg 代替库函数 log2 来优化常数

  for (int i = 1; i <= (N << 1); ++i) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;

  for (int i = 1; i <= (N << 1) - 1; ++i) st[0][i] = dfn[i];

  for (int i = 1; i <= lg[(N << 1) - 1]; ++i)

    for (int j = 1; j + (1 << n) - 1 <= ((N << 1) - 1); ++j)

      st[i][j] = dep[st[i - 1][j]] < dep[st[i - 1][j + (1 << i - 1)]

                     ? st[i - 1][j]

                     : st[i - 1][j + (1 << i - 1)];

}

```

然后对 depth 数组建立支持 RMQ 查询的数据结构，需要支持查询最小值所处位置。

当我们需要查询某点对 `(u, v)` 的 LCA 时，需要先查询区间 `[min(loc[u], loc[v]), max(loc[u], loc[v])]` 上最小值的出现位置，设其为 `pos` ，则 `(u, v)` 的 LCA 为 `id[pos]` 。

当我们需要查询某点对 $(u, v)$ 的 LCA 时，查询区间 $[\min\{pos[u], pos[v]\}, \max\{pos[u], pos[v]\}]$ 上最小值的所代表的节点即可。

本算法不支持在线修改。

若使用 ST 表来解决 RMQ 问题，那么该算法不支持在线修改，预处理的时间复杂度为 $O(n\log n)$ ，每次查询 LCA 的时间复杂度为 $O(1)$ 。

### 树链剖分

## 习题

-    [严格次小生成树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4180) 

-    [祖孙询问](https://loj.ac/problem/10135) 

-    [货车运输](https://loj.ac/problem/2610) 

-    [跑路](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1613) 

-    [点的距离](https://loj.ac/problem/10130)