Loading docs/ds/bit.md +102 −14 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -8,7 +8,7 @@ 事实上，树状数组的代码要比线段树短得多，思维也更清晰，在解决一些单点修改的问题时，树状数组是不二之选。 * * * ------ ## 原理 Loading @@ -31,7 +31,7 @@ 你从 $91$ 开始往前跳，发现 $c[n]$ （ $n$ 我也不确定是多少，算起来太麻烦，就意思一下）只管 $a[91]$ 这个点，那么你就会找 $a[90]$ ，发现 $c[n - 1]$ 管的是 $a[90]$ & $a[89]$ ；那么你就会直接跳到 $a[88]$ ， $c[n - 2]$ 就会管 $a[81]$ ~ $a[88]$ 这些数，下次查询从 $a[80]$ 往前找，以此类推。 * * * ------ ## 用法及操作 Loading Loading @@ -67,9 +67,8 @@ int lowbit(int x) { 那么对于 **单点修改** 就更轻松了： ```cpp void change(int x, int k) { while (x <= n) //不能越界 { void add(int x, int k) { while (x <= n) { //不能越界 c[x] = c[x] + k; x = x + lowbit(x); } Loading @@ -79,8 +78,7 @@ void change(int x, int k) { 每次只要在他的上级那里更新就行，自己就可以不用管了。 ```cpp int getsum(int x) // a[1]……a[x]的和 { int getsum(int x) { // a[1]……a[x]的和 int ans = 0; while (x >= 1) { ans = ans + c[x]; Loading @@ -90,7 +88,97 @@ int getsum(int x) // a[1]……a[x]的和 } ``` **区间和** 也不用说了吧，代码十分清真。 ## 区间加区间求和 若维护序列 $a$ 的差分数组 $b$ ，此时我们对 $a$ 的一个前缀 $r$ 求和， 即 $\sum_{i=1}^{r} a_i$ ，由差分数组定义得 $a_i=\sum_{j=1}^i b_j$ 进行推导 $$ \sum_{i=1}^{r} a_i\\=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^i b_i\\=\sum_{i=1}^r b_i\times(r-i+1) \\=\sum_{i=1}^r b_i\times (r+1)-\sum_{i=1}^r b_i\times i $$ 区间和可以用两个前缀和相减得到，因此只需要用两个树状数组分别维护 $\sum b_i$ 和 $\sum i \times b_i$，就能实现区间求和。 代码如下 ```cpp int t1[MAXN], t2[MAXN], n; inline int lowbit(int x) { return x & (-x); } void add(int k, int v) { int v1 = k * v; while (k <= n) { t1[k] += v, t2[k] += v1; k += lowbit(k); } } int getsum(int *t, int k) { int ret = 0; while (k) { ret += t[k]; k -= lowbit(k); } return ret; } void add1(int l, int r, int v) { add(l, v), add(r + 1, -v); //将区间加差分为两个前缀加 } long long getsum1(int l, int r) { return (r + 1ll) * (getsum(t1, r) - getsum(t1, l - 1)) - (getsum(t2, r) - getsum(t2, l - 1)); } ``` 树状数组还有一些 trick ，如 $O(n)$ 建树、 $O(\log n)$ 查询第 $k$ 小/大元素等，下附代码。 ```cpp //O(n)建树 void init() { for (int i = 1; i <= n; ++i) { t[i] += a[i]; int j = i + lowbit(i); if (j <= n) t[j] += t[i]; } } int kth(int k) {//权值树状数组查询第k小 int cnt = 0, ret = 0; for (int i = log2(n); ~i; --i) { ret += 1 << i; if (ret >= n || cnt + t[ret] >= k) ret -= 1 << i; else cnt += t[ret]; } return ret + 1; } //时间戳优化 int tag[MAXN], t[MAXN], Tag; void reset() { ++Tag; } void add(int k, int v) { while (k <= n) { if (tag[k] != Tag) t[k] = 0; t[k] += v, tag[k] = Tag; k += lowbit(k); } } int getsum(int k) { int ret = 0; while (k) { if (tag[k] == Tag) ret += t[k]; k -= lowbit(k); } return ret; } ``` ## 例题 Loading Loading
docs/ds/bit.md +102 −14 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -8,7 +8,7 @@ 事实上，树状数组的代码要比线段树短得多，思维也更清晰，在解决一些单点修改的问题时，树状数组是不二之选。 * * * ------ ## 原理 Loading @@ -31,7 +31,7 @@ 你从 $91$ 开始往前跳，发现 $c[n]$ （ $n$ 我也不确定是多少，算起来太麻烦，就意思一下）只管 $a[91]$ 这个点，那么你就会找 $a[90]$ ，发现 $c[n - 1]$ 管的是 $a[90]$ & $a[89]$ ；那么你就会直接跳到 $a[88]$ ， $c[n - 2]$ 就会管 $a[81]$ ~ $a[88]$ 这些数，下次查询从 $a[80]$ 往前找，以此类推。 * * * ------ ## 用法及操作 Loading Loading @@ -67,9 +67,8 @@ int lowbit(int x) { 那么对于 **单点修改** 就更轻松了： ```cpp void change(int x, int k) { while (x <= n) //不能越界 { void add(int x, int k) { while (x <= n) { //不能越界 c[x] = c[x] + k; x = x + lowbit(x); } Loading @@ -79,8 +78,7 @@ void change(int x, int k) { 每次只要在他的上级那里更新就行，自己就可以不用管了。 ```cpp int getsum(int x) // a[1]……a[x]的和 { int getsum(int x) { // a[1]……a[x]的和 int ans = 0; while (x >= 1) { ans = ans + c[x]; Loading @@ -90,7 +88,97 @@ int getsum(int x) // a[1]……a[x]的和 } ``` **区间和** 也不用说了吧，代码十分清真。 ## 区间加区间求和 若维护序列 $a$ 的差分数组 $b$ ，此时我们对 $a$ 的一个前缀 $r$ 求和， 即 $\sum_{i=1}^{r} a_i$ ，由差分数组定义得 $a_i=\sum_{j=1}^i b_j$ 进行推导 $$ \sum_{i=1}^{r} a_i\\=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^i b_i\\=\sum_{i=1}^r b_i\times(r-i+1) \\=\sum_{i=1}^r b_i\times (r+1)-\sum_{i=1}^r b_i\times i $$ 区间和可以用两个前缀和相减得到，因此只需要用两个树状数组分别维护 $\sum b_i$ 和 $\sum i \times b_i$，就能实现区间求和。 代码如下 ```cpp int t1[MAXN], t2[MAXN], n; inline int lowbit(int x) { return x & (-x); } void add(int k, int v) { int v1 = k * v; while (k <= n) { t1[k] += v, t2[k] += v1; k += lowbit(k); } } int getsum(int *t, int k) { int ret = 0; while (k) { ret += t[k]; k -= lowbit(k); } return ret; } void add1(int l, int r, int v) { add(l, v), add(r + 1, -v); //将区间加差分为两个前缀加 } long long getsum1(int l, int r) { return (r + 1ll) * (getsum(t1, r) - getsum(t1, l - 1)) - (getsum(t2, r) - getsum(t2, l - 1)); } ``` 树状数组还有一些 trick ，如 $O(n)$ 建树、 $O(\log n)$ 查询第 $k$ 小/大元素等，下附代码。 ```cpp //O(n)建树 void init() { for (int i = 1; i <= n; ++i) { t[i] += a[i]; int j = i + lowbit(i); if (j <= n) t[j] += t[i]; } } int kth(int k) {//权值树状数组查询第k小 int cnt = 0, ret = 0; for (int i = log2(n); ~i; --i) { ret += 1 << i; if (ret >= n || cnt + t[ret] >= k) ret -= 1 << i; else cnt += t[ret]; } return ret + 1; } //时间戳优化 int tag[MAXN], t[MAXN], Tag; void reset() { ++Tag; } void add(int k, int v) { while (k <= n) { if (tag[k] != Tag) t[k] = 0; t[k] += v, tag[k] = Tag; k += lowbit(k); } } int getsum(int k) { int ret = 0; while (k) { if (tag[k] == Tag) ret += t[k]; k -= lowbit(k); } return ret; } ``` ## 例题 Loading
