修正 SPOJ 5971 的公式推导错误；删除了 BZOJ 2154 的「解法一」字样

author: hydingsy

author: hydingsy, hyp1231

## 简介

\frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{\gcd(i,n)}+n

$$

即

$$

\frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{n^2}{\gcd(i,n)}+\frac{n}{2}

$$

可以将相同的 $\gcd(i,n)$ 合并在一起计算，故只需要统计 $\gcd(i,n)=d$ 的个数。当 $\gcd(i,n)=d$ 时， $\displaystyle\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1$ ，所以 $\gcd(i,n)=d$ 的个数有 $\displaystyle\varphi(\frac{n}{d})$ 个。

故答案为

$$

 \frac{1}{2}\cdot\sum_{d\mid n}\frac{n^2\cdot\varphi(\frac{n}{d})}{d}+n

 \frac{1}{2}\cdot\sum_{d\mid n}\frac{n^2\cdot\varphi(\frac{n}{d})}{d}+\frac{n}{2}

$$

变换求和顺序，设 $\displaystyle d'=\frac{n}{d}$ ，式子化为

变换求和顺序，设 $\displaystyle d'=\frac{n}{d}$ ，提供公因式，式子化为

$$

\frac{1}{2}n\cdot\sum_{d'\mid n}d'\cdot\varphi(d')+n

\frac{1}{2}n\left(\cdot\sum_{d'\mid n}d'\cdot\varphi(d')+1\right)

$$

设 $\displaystyle \text{g}(n)=\sum_{d\mid n} d\cdot\varphi(d)$ ，已知 $\text{g}$ 为积性函数，于是可以 $\Theta(n)$ 预处理。最后枚举 $d$ ，统计贡献即可。

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\text{lcm}(i,j)\qquad (n,m\leqslant 10^7)

$$

 **解法一** 

易知原式等价于

$$