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$$

\begin{split}

&\frac{a}{b}=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor+r(0\leq r<1)\\

\Rightarrow

\implies

&\left\lfloor\frac{a}{bc}\right\rfloor

=\left\lfloor\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{c}\right\rfloor

=\left\lfloor \frac{1}{c}\left(\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor+r\right)\right\rfloor

$$

\begin{split}

&\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor \leq \frac{n}{i}\\

\Rightarrow

\implies

&\left\lfloor\frac{n}{ \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor }\right\rfloor

\geq \left\lfloor\frac{n}{ \frac{n}{i} }\right\rfloor

= \left\lfloor i \right\rfloor=i \\

\Rightarrow

\implies

&i\leq \left\lfloor\frac{n}{ \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor }\right\rfloor\\

&&\square

\end{split}

$$

\begin{aligned}

\varepsilon=\mu*1&\Leftrightarrow\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\\

d=1*1&\Leftrightarrow d(n)=\sum_{d\mid n}1\\

\sigma=d*1&\Leftrightarrow\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}d\\

\varphi=\mu*\text{ID}&\Leftrightarrow\varphi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d})

\varepsilon=\mu*1&\iff\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\\

d=1*1&\iff d(n)=\sum_{d\mid n}1\\

\sigma=d*1&\iff\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}d\\

\varphi=\mu*\text{ID}&\iff\varphi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d})

\end{aligned}

$$

### 补充结论

反演结论： $\displaystyle [gcd(i,j)=1] \Leftrightarrow\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)$ 

反演结论： $\displaystyle [gcd(i,j)=1] \iff\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d)$ 

-    **直接推导** ：如果看懂了上一个结论，这个结论稍加思考便可以推出：如果 $\gcd(i,j)=1$ 的话，那么代表着我们按上个结论中枚举的那个 $n$ 是 $1$ ，也就是式子的值是 $1$ ，反之，有一个与 $[\gcd(i,j)=1]$ 相同的值： $0$ 

-    **利用 $\varepsilon$ 函数** ：根据上一结论， $[\gcd(i,j)=1]\Rightarrow \varepsilon(\gcd(i,j))$ ，将 $\varepsilon$ 展开即可。

-    **利用 $\varepsilon$ 函数** ：根据上一结论， $[\gcd(i,j)=1]\implies \varepsilon(\gcd(i,j))$ ，将 $\varepsilon$ 展开即可。

### 线性筛

原问题为：已知 $f=g*1$ ，证明 $g=f*\mu$ 

易知如下转化： $f*\mu=g*1*\mu\Rightarrow f*\mu=g$ （其中 $1*\mu=\varepsilon$ ）

易知如下转化： $f*\mu=g*1*\mu\implies f*\mu=g$ （其中 $1*\mu=\varepsilon$ ）

* * *

$$

f(n)=\sum_{i=1}^nt(i)g\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)\\

\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)t(i)f\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)

\iff g(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)t(i)f\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)

$$

我们证明一下