feat(max-flow): add proof of time complexity

1.  **多路增广** ：每次找到一条增广路的时候，如果残余流量没有用完怎么办呢？我们可以利用残余部分流量，再找出一条增广路。这样就可以在一次 DFS 中找出多条增广路，大大提高了算法的效率。

2.  **当前弧优化** ：如果一条边已经被增广过，那么它就没有可能被增广第二次。那么，我们下一次进行增广的时候，就可以不必再走那些已经被增广过的边。

#### 时间复杂度

设点数为 $n$ ，边数为 $m$ ，那么 Dinic 算法的时间复杂度（在应用上面两个优化的前提下）是 $O(n^{2}m)$ ，在稀疏图上效率和 EK 算法相当，但在稠密图上效率要比 EK 算法高很多。

特别地，在求解二分图最大匹配问题时，可以证明 Dinic 算法的时间复杂度是 $O(m\sqrt{n})$ 。

首先考虑单轮增广的过程。在应用了**当前弧优化**的前提下，对于每个点，我们维护下一条可以增广的边，而当前弧最多变化 $m$ 次，从而单轮增广的最坏时间复杂度为 $O(nm)$。

接下来我们证明，最多只需 $n-1$ 轮增广即可得到最大流。

我们先回顾下 Dinic 的增广过程。对于每个点，Dinic 只会找比该点层数多 $1$ 的点进行增广。

首先容易发现，对于图上的每个点，一轮增广后其层数一定不会减小。而对于汇点 $t$，情况会特殊一些，其层数在一轮增广后一定增大。

对于后者，我们考虑用反证法证明。如果 $t$ 的层数在一轮增广后不变，则意味着在上一次增广中，仍然存在着一条从 $s$ 到 $t$ 的增广路没有被增广，显然出现了矛盾。

从而我们证明了汇点的层数在一轮增广后一定增大，即增广过程最多进行 $n-1$ 次。

综上 Dinic 的最坏时间复杂度为 $O(n^{2}m)$。事实上在一般的网络上，Dinic 算法往往达不到这个上界。

特别地，在求解二分图最大匹配问题时，Dinic 算法的时间复杂度是 $O(m\sqrt{n})$ 。接下来我们将给出证明。

首先我们来简单归纳下求解二分图最大匹配问题时，建立的网络的特点。我们发现这个网络中，所有边的流量均为 $1$，且除了源点和汇点外的所有点，都满足入边最多只有一条，或出边最多只有一条。我们称这样的网络为 **单位网络**。

对于单位网络，一轮增广的时间复杂度为 $O(m)$，因为每条边只会被考虑最多一次。

接下来我们试着求出增广轮数的上界。假设我们已经先完成了前 $\sqrt{n}$ 轮增广，因为汇点的层数在每次增广后均严格增加，因此所有长度不超过 $\sqrt{n}$ 的增广路都已经在之前的增广过程中被增广。设前 $\sqrt{n}$ 轮增广后，网络的流量为 $f$，而整个网络的最大流为 $f'$，设两者间的差值 $d=f'-f$。

因为网络上所有边的流量均为 $1$，所以我们还需要找到 $d$ 条增广路才能找到网络最大流。又因为单位网络的特点，这些增广路不会在源点和汇点以外的点相交。因此这些增广路至少经过了 $d\sqrt{n}$ 个点（每条增广路的长度至少为 $\sqrt{n}$），且不能超过 $n$ 个点。因此残量网络上最多还存在 $\sqrt{n}$ 条增广路。也即最多还需增广 $\sqrt{n}$ 轮。

综上，对于包含二分图最大匹配在内的单位网络，Dinic 算法可以在 $O(m\sqrt{n})$ 的时间内求出其最大流。

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