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docs/graph/chord.md

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Original line number Diff line number Diff line
@@ -151,17 +151,24 @@ 
参考代码：



```cpp

while(cur)

{

	p[cur]=h[nww];rnk[p[cur]]=cur;

	h[nww]=nxt[h[nww]];lst[h[nww]]=0;

	lst[p[cur]]=nxt[p[cur]]=0;tf[p[cur]]=true;

	for(vector<int>::iterator it=G[p[cur]].begin();it!=G[p[cur]].end();it++)if(!tf[*it])

	{

while (cur) {

  p[cur] = h[nww];

  rnk[p[cur]] = cur;

  h[nww] = nxt[h[nww]];

  lst[h[nww]] = 0;

  lst[p[cur]] = nxt[p[cur]] = 0;

  tf[p[cur]] = true;

  for (vector<int>::iterator it = G[p[cur]].begin(); it != G[p[cur]].end();

       it++)

    if (!tf[*it]) {

      if (h[deg[*it]] == *it) h[deg[*it]] = nxt[*it];

		nxt[lst[*it]]=nxt[*it];lst[nxt[*it]]=lst[*it];

		lst[*it]=nxt[*it]=0;deg[*it]++;

		nxt[*it]=h[deg[*it]];lst[h[deg[*it]]]=*it;h[deg[*it]]=*it;

      nxt[lst[*it]] = nxt[*it];

      lst[nxt[*it]] = lst[*it];

      lst[*it] = nxt[*it] = 0;

      deg[*it]++;

      nxt[*it] = h[deg[*it]];

      lst[h[deg[*it]]] = *it;

      h[deg[*it]] = *it;

    }

  cur--;

  if (h[nww + 1]) nww++;
@@ -183,18 +190,23 @@ while(cur) 


```cpp

jud = true;

for(int i=1;i<=n;i++)

{

for (int i = 1; i <= n; i++) {

  cur = 0;

	for(vector<int>::iterator it=G[p[i]].begin();it!=G[p[i]].end();it++)if(rnk[p[i]]<rnk[*it])

	{

  for (vector<int>::iterator it = G[p[i]].begin(); it != G[p[i]].end(); it++)

    if (rnk[p[i]] < rnk[*it]) {

      s[++cur] = *it;

      if (rnk[s[cur]] < rnk[s[1]]) swap(s[1], s[cur]);

    }

	for(int j=2;j<=cur;j++)if(!st[s[1]].count(s[j])){jud=false;break;}

  for (int j = 2; j <= cur; j++)

    if (!st[s[1]].count(s[j])) {

      jud = false;

      break;

    }

}

if(!jud)printf("Imperfect\n");

else printf("Perfect\n");

if (!jud)

  printf("Imperfect\n");

else

  printf("Perfect\n");

```



至此， **弦图判定问题** 可以在 $O(n+m)$ 的时间复杂度内解决。
@@ -216,18 +228,17 @@ $A\subsetneqq B$ 当且仅当 $|A|+1\le |B|$ 。 
问题转化为判断是否存在 $y$ ，满足 $nxt_y=x$ 且 $|N(x)|+1\le |N(y)|$ 。时间复杂度 $O(n+m)$ 。



```cpp

for(int i=1;i<=n;i++)

{

for (int i = 1; i <= n; i++) {

  cur = 0;

    for(vector<int>::iterator it=G[p[i]].begin();it!=G[p[i]].end();it++)if(rnk[p[i]]<rnk[*it])

    {

  for (vector<int>::iterator it = G[p[i]].begin(); it != G[p[i]].end(); it++)

    if (rnk[p[i]] < rnk[*it]) {

      s[++cur] = *it;

      if (rnk[s[cur]] < rnk[s[1]]) swap(s[1], s[cur]);

    }

    fst[p[i]]=s[1];N[p[i]]=cur;

  fst[p[i]] = s[1];

  N[p[i]] = cur;

}

for(int i=1;i<=n;i++)

{

for (int i = 1; i <= n; i++) {

  if (!vis[p[i]]) ans++;

  if (N[p[i]] >= N[fst[p[i]]] + 1) vis[fst[p[i]]] = true;

}
@@ -254,10 +265,11 @@ for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,deg[i]+1); 
正确性证明：设以上方案独立集数和团覆盖数为 $t$ ，由定义得 $t\le \alpha(G),t\ge \kappa(G)$ ，由 **Lemma 2** 得， $\alpha(G)\le \kappa(G)$ ，所以 $t=\alpha(G)=\kappa(G)$ 。



```cpp

for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[p[i]])

{

for (int i = 1; i <= n; i++)

  if (!vis[p[i]]) {

    ans++;

	for(vector<int>::iterator it=G[p[i]].begin();it!=G[p[i]].end();it++)vis[*it]=true;

    for (vector<int>::iterator it = G[p[i]].begin(); it != G[p[i]].end(); it++)

      vis[*it] = true;

  }

```