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> 某同学：我能看出来！

我们有直线上的一点 $P$ 的直线的方向向量 $\vec v$ ，想知道某个点 $Q$ 在直线的哪边。

我们有直线上的一点 $P$ 的直线的方向向量 $\mathbf v$ ，想知道某个点 $Q$ 在直线的哪边。

我们利用向量积的性质，算出 $\overrightarrow {PQ}\times \vec v$ 。如果向量积为负，则 $Q$ 在直线上方，如果向量积为 $0$ ，则 $Q$ 在直线上，如果向量积为正，则 $Q$ 在直线下方。

我们利用向量积的性质，算出 $\overrightarrow {PQ}\times \mathbf v$ 。如果向量积为负，则 $Q$ 在直线上方，如果向量积为 $0$ ，则 $Q$ 在直线上，如果向量积为正，则 $Q$ 在直线下方。

可以画一下图，用右手定则感受一下。

在计算几何中，这个问题被称为 [PIP 问题](https://en.wikipedia.org/wiki/Point_in_polygon)，已经有一些成熟的解决方法，下面依次介绍。

#### 光线投射算法_(Ray casting algorithm)_

#### 光线投射算法 (Ray casting algorithm)

在[这里](https://wrf.ecse.rpi.edu//Research/Short_Notes/pnpoly.html)可以看到最原始的思路。

还有点在多边形的某一边或某顶点上，这种情况十分容易判断（留作课后作业）。

我们考虑以该点为端点引出一条射线，如果这条射线与多边形有奇数个交点，则该点在多边形内部，否则该点在多边形外部，我们简记为 **奇内偶外** 。这个算法同样被称为奇偶规则_(Even-odd rule)_。

我们考虑以该点为端点引出一条射线，如果这条射线与多边形有奇数个交点，则该点在多边形内部，否则该点在多边形外部，我们简记为 **奇内偶外** 。这个算法同样被称为奇偶规则 (Even-odd rule)。

由于 [Jordan curve theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_curve_theorem)，我们知道，这条射线每次与多边形的一条边相交，就切换一次与多边形的内外关系，所以统计交点数的奇偶即可。

在原版代码中，使用的是记录多边形的数组中最后一个点作为射线上一点，这样统计时，如果出现射线过多边形某边或某顶点时，可以规定射线经过的点同在射线一侧，进而做跨立实验即可。

#### 回转数算法_(Winding number algorithm)_

#### 回转数算法 (Winding number algorithm)

回转数是数学上的概念，是平面内闭合曲线逆时针绕过该点的总次数。很容易发现，当回转数等于 $0$ 的时候，点在曲线外部。这个算法同样被称为非零规则_(Nonzero-rule)_。

回转数是数学上的概念，是平面内闭合曲线逆时针绕过该点的总次数。很容易发现，当回转数等于 $0$ 的时候，点在曲线外部。这个算法同样被称为非零规则 (Nonzero-rule)。

如何计算呢？我们把该点与多边形的所有顶点连接起来，计算相邻两边夹角的和。注意这里的夹角是 **有方向的** 。如果夹角和为 $0$ ，则这个点在多边形外，否则在多边形内。

### 求两条直线的交点

> 某同学：这还不简单联立方程 #%$&^%)(Y(\*&^UIG))

> 某同学：这还不简单联立方程 #%$&^%)(Y(\*&rUIG))

首先，我们需要确定两条直线相交，只需判断一下两条直线的方向向量是否平行即可。如果方向向量平行，则两条直线平行，交点个数为 $0$ 。进一步地，若两条直线平行且过同一点，则两直线重合。

![Intersection](./images/2d-intersection.png)

由上图可知， $|\vec a\times \vec b|=|\vec a||\vec b|\sin \beta$ ， $|\vec u\times \vec b|=|\vec u||\vec b|\sin \theta$ 。

由上图可知， $|\mathbf a\times \mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin \beta$ ， $|\mathbf u\times \mathbf b|=|\mathbf u||\mathbf b|\sin \theta$ 。

作商得：

$$

T=\frac{|\vec u\times \vec b|}{|\vec a\times \vec b|}=\frac{|\vec u|\sin \theta}{|\vec a|\sin \beta}

T=\frac{|\mathbf u\times \mathbf b|}{|\mathbf a\times \mathbf b|}=\frac{|\mathbf u|\sin \theta}{|\mathbf a|\sin \beta}

$$

可以看出， $|\frac{|\vec u|\sin \theta}{\sin \beta}|=l​$ 。若绝对值内部式子取值为正，代表沿 $\vec a​$ 方向平移，反之则为反方向。

可以看出， $|\frac{|\mathbf u|\sin \theta}{\sin \beta}|=l​$ 。若绝对值内部式子取值为正，代表沿 $\mathbf a​$ 方向平移，反之则为反方向。

同时，我们将 $T$ 直接乘上 $\vec a$ ，就自动出现了直线的单位向量，不需要进行其他消去操作了。

同时，我们将 $T$ 直接乘上 $\mathbf a$ ，就自动出现了直线的单位向量，不需要进行其他消去操作了。

于是，只需要将点 $P$ 加上 $T\vec a$ 即可得出交点。

于是，只需要将点 $P$ 加上 $T\mathbf a$ 即可得出交点。

### 求任意多边形的周长和面积

考虑向量积的模的几何意义，我们可以利用向量积完成。

将多边形上的点逆时针标记为 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ ，再任选一个辅助点 $O$ ，记向量 $\vec {v_i}=p_i-O$ ，那么这个多边形面积 $S$ 可以表示为：

将多边形上的点逆时针标记为 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ ，再任选一个辅助点 $O$ ，记向量 $\mathbf v_i=p_i-O$ ，那么这个多边形面积 $S$ 可以表示为：

$$

S=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n |\vec {v_i}\times \overrightarrow{v_{i\bmod n+1}}|

S=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n |\mathbf v_i\times \mathbf v_{i\bmod n+1}|

$$

### 圆与直线相关

### 极角序

!!! 例题[「JOI Spring Camp 2014 Day4」两个人的星座](https://www.ioi-jp.org/camp/2014/2014-sp-tasks/2014-sp-d4.pdf)  

一般来说，这类题需要先枚举一个极点，然后计算出其他点的极坐标，在极坐标系下按极角的顺序解决问题。

#### 例题[「JOI Spring Camp 2014 Day4」两个人的星座](https://www.ioi-jp.org/camp/2014/2014-sp-tasks/2014-sp-d4.pdf)

平面内有 $n$ 个点，有三种颜色，每个点的颜色是三种中的一种。求不相交的三色三角形对数。 $6\le n\le 3000$ 。

#### 题解

如果两个三角形不相交，则一定可以做出两条内公切线，如果相交或内含是做不出内公切线的。三角形的公切线可以类比圆的公切线。

先枚举一个原点，记为 $O$ ，以这个点为极点，过这个点且与 $x$ 轴平行的直线作为极轴，建立极坐标系，把剩余点按极角由小到大排序。然后统计出在极轴上方和下方的每种点的个数。