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## 最小树形图

有向图上的最小生成树（Minimum Directed Spanning Tree）称为最小树形图。

有向图上的最小生成树（Directed Minimum Spanning Tree）称为最小树形图。

常用的算法是朱刘算法（也称 Edmonds 算法），可以在 $O(nm)$ 时间内解决最小树形图问题。

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## Tarjan 的 MDST 算法

## Tarjan 的 DMST 算法

Tarjan 提出了一种能够在 $O(m+n\log n)$ 时间内解决最小树形图问题的算法。

2. 如果 $b$ 被记录过了，就说明出现了环。总结点数加一，并将环上的所有结点重新编号，对堆进行合并，以及结点/超级结点的总权值的更新。更新权值操作就是将环上所有结点的入边都收集起来，并减去环上入边的边权。

![mdst1](./images/mdst1.png)

![dmst1](./images/dmst1.png)

以图片为例，左边的强连通图在收缩后就形成了右边的一棵收缩树，其中 $a$ 是结点 1 与结点 2 收缩后的超级结点， $b$ 是结点 3，结点 4，结点 5 收缩后的超级结点， $A$ 是两个超级结点 $a$ 与 $b$ 收缩后形成的。

当出现形如“给定 $n$ 个整数，求这 m 个整数能拼凑出多少的其他整数（ $n$ 个整数可以重复取）”，以及“给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数”的问题时可以使用同余最短路的方法。

当出现形如“给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数能拼凑出多少的其他整数（ $n$ 个整数可以重复取）”，以及“给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数”的问题时可以使用同余最短路的方法。

同余最短路利用同余来构造一些状态，可以达到优化空间复杂度的目的。

    - 拓扑排序: graph/topo.md

    - 最小生成树: graph/mst.md

    - 斯坦纳树: graph/steiner-tree.md

    - 最小树形图: graph/mdst.md

    - 最小树形图: graph/dmst.md

    - 最短路: graph/shortest-path.md

    - 拆点: graph/node.md

    - 差分约束: graph/diff-constraints.md