Merge pull request #1755 from hyp1231/master

author: hyp1231

反演变换适用于题目中存在多个圆/直线之间的相切关系的情况。利用反演变换的性质，在反演空间求解问题，可以大幅简化计算。

## 定义

给定反演中心点 $O$ 和反演半径 $R$ 。若平面上点 $P$ 和 $P'$ 满足：

首先考虑解析几何解法，似乎很难求解。

考虑以需要经过的点为反演中心进行反演（反演半径任意），所求的圆的反演图形是一条直线（应用性质 $3$ ），且与给出题目给出两圆的反演图形（性质 $2$ ）相切（性质 $4$ ）。

考虑以需要经过的点为反演中心进行反演（反演半径任意），所求的圆的反演图形是一条直线（应用性质 $3$ ），且与题目给出两圆的反演图形（性质 $2$ ）相切（性质 $4$ ）。

于是题目经过反演变换后转变为：求两圆的所有公切线。

author: hydingsy

author: hydingsy, hyp1231

## 简介

\frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{\gcd(i,n)}+n

$$

即

$$

\frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{n^2}{\gcd(i,n)}+\frac{n}{2}

$$

可以将相同的 $\gcd(i,n)$ 合并在一起计算，故只需要统计 $\gcd(i,n)=d$ 的个数。当 $\gcd(i,n)=d$ 时， $\displaystyle\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1$ ，所以 $\gcd(i,n)=d$ 的个数有 $\displaystyle\varphi(\frac{n}{d})$ 个。

故答案为

$$

 \frac{1}{2}\cdot\sum_{d\mid n}\frac{n^2\cdot\varphi(\frac{n}{d})}{d}+n

 \frac{1}{2}\cdot\sum_{d\mid n}\frac{n^2\cdot\varphi(\frac{n}{d})}{d}+\frac{n}{2}

$$

变换求和顺序，设 $\displaystyle d'=\frac{n}{d}$ ，式子化为

变换求和顺序，设 $\displaystyle d'=\frac{n}{d}$ ，合并公因式，式子化为

$$

\frac{1}{2}n\cdot\sum_{d'\mid n}d'\cdot\varphi(d')+n

\frac{1}{2}n\cdot\left(\sum_{d'\mid n}d'\cdot\varphi(d')+1\right)

$$

设 $\displaystyle \text{g}(n)=\sum_{d\mid n} d\cdot\varphi(d)$ ，已知 $\text{g}$ 为积性函数，于是可以 $\Theta(n)$ 预处理。最后枚举 $d$ ，统计贡献即可。

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\text{lcm}(i,j)\qquad (n,m\leqslant 10^7)

$$

 **解法一** 

易知原式等价于

$$