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### 倍增算法

倍增算法是最经典的 LCA 求法，他是朴素算法的改进算法。通过预处理 $fa_{x,i}$ 数组，游标可以快速移动，大幅减少了游标跳转次数。 $fa_{x,i}$ 表示点 $x$ 的第 $2^i$ 个祖先。 $fa_{x,i}$ 数组可以通过 dfs 预处理出来。

倍增算法是最经典的 LCA 求法，他是朴素算法的改进算法。通过预处理 $\text{fa}_{x,i}$ 数组，游标可以快速移动，大幅减少了游标跳转次数。 $\text{fa}_{x,i}$ 表示点 $x$ 的第 $2^i$ 个祖先。 $\text{fa}_{x,i}$ 数组可以通过 dfs 预处理出来。

现在我们看看如何优化这些跳转：

在调整游标的第一阶段中，我们要将 $u,v$ 两点跳转到同一深度。我们可以计算出 $u,v$ 两点的深度之差，设其为 $y$ 。通过将 $y$ 进行二进制拆分，我们将 $y$ 次游标跳转优化为「 $y$ 的二进制表示所含 `1` 的个数」次游标跳转。

在第二阶段中，我们从最大的 $i$ 开始循环尝试，一直尝试到 $0$ （包括 $0$ ），如果 $fa_{u,i}\not=fa_{v,i}$ ，则 $u\gets fa_{u,i},v\gets fa_{v,i}$ ，那么最后的 LCA 为 $fa_{u,0}$ 。

在第二阶段中，我们从最大的 $i$ 开始循环尝试，一直尝试到 $0$ （包括 $0$ ），如果 $\text{fa}_{u,i}\not=\text{fa}_{v,i}$ ，则 $u\gets\text{fa}_{u,i},v\gets\text{fa}_{v,i}$ ，那么最后的 LCA 为 $\text{fa}_{u,0}$ 。

倍增算法的预处理时间复杂度为 $O(n \log n)$ ，单次查询时间复杂度为 $O(\log n)$ 。

另外倍增算法可以通过交换 `fa` 数组的两维使较小维放在前面。这样可以减少 cache miss 次数，提高程序效率。