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H_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1}

$$

??? note " 例题[洛谷 P1044 栈](https://www.luogu.org/problem/P1044)"

    题目大意：入栈顺序为 $1,2,\ldots ,n$ ，求所有可能的出栈顺序的总数。

```cpp

#include <iostream>

using namespace std;

int n;

long long f[25];

int main() {

  f[0] = 1;

  cin >> n;

  for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = f[i - 1] * (4 * i - 2) / (i + 1);

  //这里用的是常见公式2

  cout << f[n] << endl;

  return 0;

}

```

## 路径计数问题

非降路径是指只能向上或向右走的路径。

1.  从 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的非降路径数等于 m 个 x 和 n 个 y 的排列数，即 ${n + m \choose m}$ 。

1.  从 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的非降路径数等于 $m$ 个 $x$ 和 $n$ 个 $y$ 的排列数，即 ${n + m \choose m}$ 。

2.  从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的除端点外不接触直线 $y=x$ 的非降路径数：