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###  $\Theta$ 符号

对于给定的一个函数 $g(n)$ , 函数集合 $\Theta(g(n))$ 定义为

$$

\Theta(g(n)) = \{f(n) : 存在常数 c_1,c_2,n_0 \in \mathbb{R^{+}}使得 0 \leq c_1g(n) \leq f(n) \leq c_2g(n), \qquad \forall n \geq n_0\}

$$

对于给定的一个函数 $g(n)$ , $f(n)\in\Theta(g(n))$ ，当且仅当 $\exists c_1,c_2,n_0\in\mathbb R^+$ ，使得 $\forall n \ge n_0, 0\le c_1g(n)\le f(n) \le c_2 g(n)$ 。

也就是说，如果函数 $f(n)$ 属于 $\Theta(g(n))$ ，那么我们能找到两个正常数 $c_1, c_2$ 使得 $f(n)$ 被 $c_1g(n)$ 和 $c_2g(n)$ 夹在中间。因为 $\Theta(g(n))$ 是一个函数集合，我们可以用 $f(n) \in \Theta(g(n))$ 表达 $f(n)$ 属于 $\Theta(g(n))$ ，但是我们通常使用 $f(n) = \Theta(g(n))$ 。

###  $O$ 符号

 $\Theta$ 符号同时给了我们一个函数的上下界，如果我们只有一个函数的渐进上界的时候，我们使用 $O$ 符号。对于一个给定的函数 $g(n)$ , 我们把它记作 $O(g(n))$ 。

$$

O(g(n)) = \{f(n): 存在常数 c,n_0 使得 0\leq f(n) \leq cg(n), \qquad \forall n \geq n_0\}

$$

 $\Theta$ 符号同时给了我们一个函数的上下界，如果我们只有一个函数的渐进上界的时候，我们使用 $O$ 符号。对于一个给定的函数 $g(n)$ , 我们把它记作 $O(g(n))$ 。 $f(n)\in O(g(n))$ ，当且仅当 $\exists c,n_0$ ，使得 $\forall n \ge n_0,0\le f(n)\le cg(n)$ 。

###  $\Omega$ 符号

同样的，我们使用 $\Omega$ 符号来描述一个函数的渐进下界。

$$

\Omega(g(n)) = \{f(n): 存在常数 c,n_0 使得 0 \leq cg(n) \leq f(n) , \qquad \forall n \geq n_0\}

$$

同样的，我们使用 $\Omega$ 符号来描述一个函数的渐进下界。 $f(n)\in \Omega(g(n))$ ，当且仅当 $\exists c,n_0$ ，使得 $\forall n \ge n_0,0\le cg(n)\le f(n)$ 。

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