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-   若 $n = p^k$ ，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$ 。

    （根据定义可知）

* 由唯一分解定理， 设 $n = \prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$ ， 其中 $p_i$ 是质数， 有$\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$ 。

-   由唯一分解定理，设 $n = \prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$ ，其中 $p_i$ 是质数，有 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$ 。

    证明：

  * 引理：设 $p$为任意质数， 那么 $\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)$ 。

    -   引理：设 $p$ 为任意质数，那么 $\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)$ 。

        证明：显然对于从 1 到 $p^k$ 的所有数中，除了 $p^{k-1}$ 个 $p$ 的倍数以外其它数都与 $p^k$ 互素，故 $\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)$ ，证毕。

    接下来我们证明 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$ 。由唯一分解定理与 $\varphi(x)$ 函数的积性

$$

\begin{aligned}

	\varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\

\end{aligned}

$$

## 如何求欧拉函数值

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用*Pollard Rho*算法优化。