Commit 7214074c authored by 1170300206's avatar 1170300206 Committed by Trisolaris HD
Browse files

添加Lucas定理和exLucas定理 (#1417) 

* 数学分类下更新lucas定理和拓展lucas定理

* 添加标点

* 添加半角空格

* 修改行间公式的换行

* style: format markdown files with remark-lint

* fix extra.js

* fix mkdocs

* Update mkdocs.yml

* Update mkdocs.yml

* fix: code style

* fix: code style

* style: format markdown files with remark-lint

* 先进行部分修改

* style: format markdown files with remark-lint

* 修改完啦

* style: format markdown files with remark-lint

* fix Lucas

* style: format markdown files with remark-lint

* Lucas 修改表述，行内变行间

* style: format markdown files with remark-lint

* 删除冗余内容

* 添加习题

* style: format markdown files with remark-lint

* fix

* fix\times 2

* Update ex-lucas.md

修改了一些表述。

* style: format markdown files with remark-lint

* 合并lucas 和exlucas

* style: format markdown files with remark-lint

* 合并习题

* style: format markdown files with remark-lint
parent 1d7e84bb

docs/math/lucas.md

0 → 100755
+115 −0
Original line number Diff line number Diff line 
## Lucas 定理



Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中 p 必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解（详见[排列组合](/math/combination/)），但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到 Lucas 定理。



### 求解方式



Lucas 定理内容如下：对于质数 $p$ ，有



$$

\binom{n}{m}\bmod p = \binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\cdot\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p

$$



观察上述表达式，可知 $n\bmod p$ 和 $m\bmod p$ 一定是小于 $p$ 的数，可以直接求解， $\displaystyle\binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}$ 可以继续用 Lucas 定理求解。这也就要求 $p$ 的范围不能够太大，一般在 $10^5$ 左右。边界条件：当 $m=0$ 的时候，返回 $1$ 。



时间复杂度为 $O(p\log_{p}{n})$ 。



### 代码实现



```cpp

long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {

  if (m == 0) return 1;

  return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;

}

```



## exLucas 定理



Lucas 定理中对于模数 $p$ 要求必须为素数，那么对于 $p$ 不是素数的情况，就需要用到 exLucas 定理。



### 求解方式



首先对于 p 进行质因数分解： $p=p_{1}^{k_1}p_{2}^{k_2}\cdots p_{n}^{k_n}$ ，则如果可以求出每个 $C_{n}^{m}\equiv a_i \pmod {p_{i}^{q_i}}$ ，那么对于同余方程组



$$

\begin{cases}

C_{n}^{m}\equiv a_1 \pmod {p_{1}^{q_1}}\\

C_{n}^{m}\equiv a_2 \pmod {p_{2}^{q_2}}\\

\,\,\,\,\vdots\\

C_{n}^{m}\equiv a_n  \pmod {p_{n}^{q_n}}\\

\end{cases}

$$



使用中国剩余定理即可求出 $C_{n}^{m}$ 的值。



但是可以发现 $p_{i}^{q_i}$ 也不一定是素数，接下来介绍如何计算 $C_{n}^{m}\bmod p^t$ 。



首先由求组合数的公式 $C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ ，如果可以分别计算出 $n!, m!, (n-m)!$ 在模 $p^t$ 意义下的值，那么就可以得到答案。



以第一个式子为例，当 $p=3,t=2,n=19$ 时，有：



$$

\begin{split}

n!&=1\cdot 2\cdot 3\cdots 19\\

&=(1\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot 10\cdot 11\cdot 13\cdot 14\cdot  16\cdot 17\cdot 19)\cdot (3\cdot 6\cdot 9\cdot 12\cdot 15\cdot 18)\\

&=(1\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot 10\cdot 11\cdot 13\cdot 14\cdot  16\cdot 17\cdot 19)\cdot 3^6\cdot(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6)

\end{split}

$$



可以看到后面一部分在模意义下相当于 $(n/p)!$ ，于是可以递归进行计算。



前面一部分是以 $p^t$ 为周期的，也就是 $(1\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8)\equiv (10\cdot 11\cdot 13\cdot 14\cdot 16\cdot 17)\ \pmod{3^2}$ ，所以只需要计算最后不满足一个周期的数是哪些就可以了（这个例子中就只要计算 $19$ ）。显然，不满足一个周期的数的个数不超过 $p^t$ 个。



### 代码实现



其中 `int inverse(int x)` 函数返回 $x$ 在模 $p$ 意义下的逆元。



```cpp

LL CRT(int n, LL* a, LL* m) {

  LL M = 1, p = 0;

  for (int i = 1; i <= n; i++) M = M * m[i];

  for (int i = 1; i <= n; i++) {

    LL w = M / m[i], x, y;

    exgcd(w, m[i], x, y);

    p = (p + a[i] * w * x % mod) % mod;

  }

  return (p % mod + mod) % mod;

}

LL calc(LL n, LL x, LL P) {

  if (!n) return 1;

  LL s = 1;

  for (int i = 1; i <= P; i++)

    if (i % x) s = s * i % P;

  s = Pow(s, n / P, P);

  for (int i = n / P * P + 1; i <= n; i++)

    if (i % x) s = s * i % P;

  return s * calc(n / x, x, P) % P;

}

LL multilucas(LL m, LL n, LL x, LL P) {

  int cnt = 0;

  for (int i = m; i; i /= x) cnt += i / x;

  for (int i = n; i; i /= x) cnt -= i / x;

  for (int i = m - n; i; i /= x) cnt -= i / x;

  return Pow(x, cnt, P) % P * calc(m, x, P) % P * inverse(calc(n, x, P), P) %

         P * inverse(calc(m - n, x, P), P) % P;

}

LL exlucas(LL m, LL n, LL P) {

  int cnt = 0;

  LL p[20], a[20];

  for (LL i = 2; i * i <= P; i++) {

    if (P % i == 0) {

      p[++cnt] = 1;

      while (P % i == 0) p[cnt] = p[cnt] * i, P /= i;

      a[cnt] = multilucas(m, n, i, p[cnt]);

    }

  }

  if (P > 1) p[++cnt] = P, a[cnt] = multilucas(m, n, P, P);

  return CRT(cnt, a, p);

}

```



## 习题



-   [Luogu3807【模板】卢卡斯定理](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807)

-   [SDOI2010 古代猪文  卢卡斯定理](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2480)

-   [Luogu4720【模板】扩展卢卡斯](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720)

mkdocs.yml

+1 −0
Original line number Diff line number Diff line
@@ -169,6 +169,7 @@ nav: 
    - 线性规划: math/linear-programming.md

    - 单纯形: math/simplex.md

    - 博弈论: math/game-theory.md

    - 卢卡斯定理: math/lucas.md

    - 数学杂项: math/misc.md

  - 数据结构:

    - 数据结构部分简介: ds/index.md

docs/_static/js/extra.js

+9 −9

File changed.

Contains only whitespace changes.