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三角形不等式： $dist(v) \leq dist(u) + edge\_len(u, v)$ 。

证明：反证法，如果不满足，那么可以用 $relax$ 操作来更新 $dist(v)$ 的值。

证明：反证法，如果不满足，那么可以用松弛操作来更新 $dist(v)$ 的值。

Bellman-Ford 算法如下：

while (1) for each edge(u, v) relax(u, v);

```

当一次循环中没有 $relax$ 操作成功时停止。

当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

每次循环是 $O(m)$ 的，那么最多会循环多少次呢？

我们考虑最短路存在的时候。

由于一次 $relax$ 会使（被 $relax$ 的）最短路的边数至少 $+1$ ，而最短路的边数最多为 $n-1$ 。

由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 $+1$ ，而最短路的边数最多为 $n-1$ 。

所以最多（连续） $relax$  $n-1$ 次……（ $relax$ 一定是环环相扣的，不然之前就能被 $relax$ 掉）

所以最多循环 $n-1$ 次。

所以最多执行 $n-1$ 次松弛操作，即最多循环 $n-1$ 次。

总时间复杂度 $O(NM)$ 。 **（对于最短路存在的图）** 

给一张有向图，问是否存在负权环。

做法很简单，跑 Bellman-Ford 算法，如果有个点被 $relax$ 成功了 $n$ 次，那么就一定存在。

做法很简单，跑 Bellman-Ford 算法，如果有个点被松弛成功了 $n$ 次，那么就一定存在。

如果 $n-1$ 次之内算法结束了，就一定不存在。

即 Shortest Path Faster Algorithm。

很多时候我们并不需要那么多无用的 $relax$ 操作。

很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作。

很显然，只有上一次被 $relax$ 的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的 $relax$ 。

很显然，只有上一次被松弛的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的松弛操作。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起 $relax$ ”，就能只访问必要的边了。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起松弛操作”，就能只访问必要的边了。

```text

q = new queue();

}

```

SPFA 的时间复杂度为 $O(kM)~ (k\approx 2)$ （玄学），但 **理论上界** 为 $O(NM)$ ，精心设计的稠密图可以随便卡掉 SPFA，所以考试时谨慎使用（NOI 2018 卡 SPFA）。

SPFA 在随机图上的期望时间复杂度为 $O(kM)~ (k\approx 2)$ ，但最坏情况下的时间复杂度为 $O(NM)$ ，事实上使 SPFA 跑到时间复杂度上限的图非常容易构造，所以考试时谨慎使用（NOI 2018 卡 SPFA）。

#### SPFA 的优化之 SLF

然后重复这些操作：

（1） $relax$ 那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边。

（2）从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。

1. 对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。

2. 从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。

直到第二个集合为空，算法结束。

再证明第一个集合中的元素的最短路已经确定。

第一步，一开始时成立（基础），在每一步中，加入集合的元素一定是最大值，且是另一边最小值， $relax$ 又是加上非负数，所以仍然成立。（归纳）（利用非负权值的性质）

第一步，一开始时成立（基础），在每一步中，加入集合的元素一定是最大值，且是另一边最小值， 每次松弛操作又是加上非负数，所以仍然成立。（归纳）（利用非负权值的性质）

第二步，考虑每次加进来的结点，到他的最短路，上一步必然是第一个集合中的元素（否则他不会是第二个集合中的最小值，而且有第一步的性质），又因为第一个集合已经全部 $relax$ 过了，所以最短路显然确定了。

第二步，考虑每次加进来的结点，到他的最短路，上一步必然是第一个集合中的元素（否则他不会是第二个集合中的最小值，而且有第一步的性质），又因为第一个集合内的点已经全部松弛过了，所以最短路显然确定了。

```text

H = new heap();