添加了平衡三进制唯一性的证明

\texttt{ 100Z10} = 243 \cdot 1 + 81 \cdot 0 + 27 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 237_{10}

$$

## 平衡三进制的唯一性

对于一个平衡三进制数$X_3$来说，其可以按照每一位$x_i$乘上对应的权值$3^i$来唯一得到一个十进制数$Y_{10}$。那对于一个十进制数$Y_{10}$，是否 **唯一对应一个平衡三进制数** 呢？

答案是肯定的。

我们利用**反证法**来求证：

假设一个十进制数$Y_{10}$，存在两个**不同的平衡三进制数**$A_3,B_3$转化成十进制时等于$Y_{10}$，即证$A_3 = B_3$。分情况讨论：

> 1. 当$Y_{10}=0$，显然$A_3 = B_3 = 0_3$，与假设矛盾。

> 2. 当$Y_{10}>0$：

>

>    - 将位按低位到高位编号，$A_3,B_3$必存在位$i$使得$a_i\neq b_i$。可以发现低位$i-1,i-2,...,0$与证明无关，将$A_3,B_3$按位右移$i$位后得到$A_3',B_3'$，原问题等价于证明$A_3'=B_3'$。

>

>     - 对于$A_3',B_3'$第$0$位，$a_0 \neq b_0$。假设$b_0 > a_0$（$a_0>b_0$时结果相同），易知$b_0 - a_0 \in [1,2]$。$A_3'$的位$i=1,2,3,...$对于$A_3'$的值的贡献为$S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$，$B_3'$的位$i=1,2,3,...$对于$B_3'$的值的贡献为$S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$。由于$A_3' = B_3'$，得$S_1 - S_2 = b_0 - a_0$。$S_1,S_2$有公因子$3$，而$b_0 - a_0$显然不能被$3$整除，与假设矛盾。

> 3. 当$Y_{10}<0$，证法与$Y_{10}>0$相同。

故对于任意十进制$Y_{10}$，均有唯一对应的平衡三进制$X_3$。

## 练习题

 [Topcoder SRM 604, Div1-250](https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12917&rd=15837)