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  return ans;

}

```

## Tarjan 的 MDST 算法

Tarjan 提出了一种能够在 $O(m+n\log n)$ 时间内解决最小树形图问题的算法。

这里的算法描述以及参考代码基于 Uri Zwick 教授的课堂讲义，更多的细节可以参考原文。

Tarjan 的算法分为 **收缩** 与 **伸展** 两个过程。接下来先介绍 **收缩** 的过程。

我们需要假设输入的图是满足强连通的，如果不满足那么就加入 $O(n)$ 条边使其满足，并且这些边的边权是无穷大的。

我们需要一个堆存储结点的入边编号，入边权值，结点总代价等相关信息，由于后续过程中会有堆的合并操作，这里采用 [左偏树](../ds/leftist-tree.md) 与 [并查集](../ds/dsu.md) 实现。算法的每一步都选择一个任意结点 $v$ ，需要保证 $v$ 不是根节点，并且在堆中没有它的入边。再将 $v$ 的最小入边加入到堆中，如果新加入的这条边使堆中的边形成了环，那么将构成环的那些结点收缩，我们不妨将这些已经收缩的结点命名为 **超级结点** ，再继续这个过程，如果所有的顶点都缩成了一个超级结点，那么收缩过程就结束了。整个收缩过程结束后会得到一棵收缩树，之后将对它进行伸展操作。

堆中的边总是会形成一条路径 $v_0\leftarrow v_1\leftarrow \dots\leftarrow v_k$ ，由于图是强连通的，这个路径必然存在，并且其中的 $v_i$ 可能是最初的单一结点，也可能是压缩后的超级结点。

最初有 $v_o=a$ ，其中 $a$ 是图中任意的一个结点，每一次选择一条最小入边 $v_k\leftarrow u$ ，如果 $u$ 不是 $v_0,v_1,\dots,v_k$ 中的一个结点，那么就将结点扩展到 $v_{k+1}=u$ 。如果 $u$ 是他们其中的一个结点 $v_i$ ，那么就找到了一个关于 $v_i\leftarrow\dots\leftarrow v_k\leftarrow v_i$ 的环，再将他们收缩为一个超级结点 $c$ 。

向队列 $P$ 中放入所有的结点或超级结点，并初始选择任意一节点 $a$ ，只要队列不为空，就进行以下步骤：

1. 选择 $a$ 的最小入边，保证不存在自环，并找到另一头的结点 $b$ 。如果结点 $b$ 没有被记录过说明未形成环，令 $a\leftarrow b$ ，继续当前操作寻找环。

2. 如果 $b$ 被记录过了，就说明出现了环。总结点数加一，并将环上的所有结点重新编号，对堆进行合并，以及结点/超级结点的总权值的更新。更新权值操作就是将环上所有结点的入边都收集起来，并减去环上入边的边权。

![mdst1](./images/mdst1.png)

以图片为例，左边的强连通图在收缩后就形成了右边的一棵收缩树，其中 $a$ 是结点 1 与结点 2 收缩后的超级结点， $b$ 是结点 3，结点 4，结点 5 收缩后的超级结点， $A$ 是两个超级结点 $a$ 与 $b$ 收缩后形成的。

伸展过程是相对简单的，以原先要求的根节点 $r$ 为起始点，对 $r$ 到收缩树的根上的每一个环进行伸展。再以 $r$ 的祖先结点 $f_r$ 为起始点，将其到根的环展开，直到遍历完所有的结点。

### 代码

```cpp

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define maxn 102

#define INF 0x3f3f3f3f

struct UnionFind {

  int fa[maxn << 1];

  UnionFind() { memset(fa, 0, sizeof(fa)); }

  void clear(int n) { memset(fa + 1, 0, sizeof(int) * n); }

  int find(int x) { return fa[x] ? fa[x] = find(fa[x]) : x; }

  int operator[](int x) { return find(x); }

};

struct Edge {

  int u, v, w, w0;

};

struct Heap {

  Edge *e;

  int rk, constant;

  Heap *lch, *rch;

  Heap(Edge *_e) : e(_e), rk(1), constant(0), lch(NULL), rch(NULL) {}

  void push() {

    if (lch) lch->constant += constant;

    if (rch) rch->constant += constant;

    e->w += constant;

    constant = 0;

  }

};

Heap *merge(Heap *x, Heap *y) {

  if (!x) return y;

  if (!y) return x;

  if (x->e->w + x->constant > y->e->w + y->constant) swap(x, y);

  x->push();

  x->rch = merge(x->rch, y);

  if (!x->lch || x->lch->rk < x->rch->rk) swap(x->lch, x->rch);

  if (x->rch)

    x->rk = x->rch->rk + 1;

  else

    x->rk = 1;

  return x;

}

Edge *extract(Heap *&x) {

  Edge *r = x->e;

  x->push();

  x = merge(x->lch, x->rch);

  return r;

}

vector<Edge> in[maxn];

int n, m, fa[maxn << 1], nxt[maxn << 1];

Edge *ed[maxn << 1];

Heap *Q[maxn << 1];

UnionFind id;

void contract() {

  bool mark[maxn << 1];

  // 将图上的每一个结点与其相连的那些结点进行记录。

  for (int i = 1; i <= n; i++) {

    queue<Heap *> q;

    for (int j = 0; j < in[i].size(); j++) q.push(new Heap(&in[i][j]));

    while (q.size() > 1) {

      Heap *u = q.front();

      q.pop();

      Heap *v = q.front();

      q.pop();

      q.push(merge(u, v));

    }

    Q[i] = q.front();

  }

  mark[1] = true;

  for (int a = 1, b = 1, p; Q[a]; b = a, mark[b] = true) {

    //寻找最小入边以及其端点，保证无环。

    do {

      ed[a] = extract(Q[a]);

      a = id[ed[a]->u];

    } while (a == b && Q[a]);

    if (a == b) break;

    if (!mark[a]) continue;

    // 对发现的环进行收缩，以及环内的结点重新编号，总权值更新。

    for (a = b, n++; a != n; a = p) {

      id.fa[a] = fa[a] = n;

      if (Q[a]) Q[a]->constant -= ed[a]->w;

      Q[n] = merge(Q[n], Q[a]);

      p = id[ed[a]->u];

      nxt[p == n ? b : p] = a;

    }

  }

}

ll expand(int x, int r);

ll expand_iter(int x) {

  ll r = 0;

  for (int u = nxt[x]; u != x; u = nxt[u]) {

    if (ed[u]->w0 >= INF)

      return INF;

    else

      r += expand(ed[u]->v, u) + ed[u]->w0;

  }

  return r;

}

ll expand(int x, int t) {

  ll r = 0;

  for (; x != t; x = fa[x]) {

    r += expand_iter(x);

    if (r >= INF) return INF;

  }

  return r;

}

void link(int u, int v, int w) { in[v].push_back({u, v, w, w}); }

int main() {

  int rt;

  scanf("%d %d %d", &n, &m, &rt);

  for (int i = 0; i < m; i++) {

    int u, v, w;

    scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);

    link(u, v, w);

  }

  // 保证强连通

  for (int i = 1; i <= n; i++) link(i > 1 ? i - 1 : n, i, INF);

  contract();

  ll ans = expand(rt, n);

  if (ans >= INF)

    puts("-1");

  else

    printf("%lld\n", ans);

  return 0;

}

```

## 参考文献

Uri Zwick. (2013), [Directed Minimum Spanning Trees](http://www.cs.tau.ac.il/~zwick/grad-algo-13/directed-mst.pdf) , Lecture notes on“Analysis of Algorithms”

 <https://riteme.site/blog/2018-6-18/mdst.html#_3>