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一个有序链表的查找操作，就是从头部开始逐个比较，直到当前节点的值大于或者等于目标节点的值。很明显，这个操作的复杂度是 $O(n)$ 。

跳表在有序链表的基础上，引入了 **分层** 的概念。首先，跳表的每一层都是一个有序链表，特别地，最底层是初始的有序链表。每个位于第 $i$ 层的节点有 $p$ 的概率出现在第 $i+1$ 层， $p$ 为常数。可以计算出，跳表的期望层数为 $\log_{\frac{1}{p}}n$ 。

跳表在有序链表的基础上，引入了 **分层** 的概念。首先，跳表的每一层都是一个有序链表，特别地，最底层是初始的有序链表。每个位于第 $i$ 层的节点有 $p$ 的概率出现在第 $i+1$ 层， $p$ 为常数。

在跳表中查找，就是从最高层开始，水平地逐个比较，直至当前节点大于等于目标节点。若是当前节点等于目标节点，则成功查找；若是大于目标节点或者是达到链表的末尾，就退回上一个元素后下降到下一层，直到找到目标节点或者达到最底层的末尾。这样一来，查找的过程中会跳过一些没有必要的比较，所以相比于有序链表的查询，跳表的查询更快。可以证明，跳表查询的平均复杂度为 $O(\log n)$ 。

记在 n 个节点的跳表中，期望包含 $\frac{1}{p}$ 个元素的层为第 $L(n)$ 层，易得 $L(n) = \log_{\frac{1}{p}}n$ 。

在跳表中查找，就是从第 $L(n)$ 层开始，水平地逐个比较直至当前节点的下一个节点大于等于目标节点，然后移动至下一层。重复这个过程直至到达第一层且无法继续进行操作。此时，若下一个节点是目标节点，则成功查找；反之，则元素不存在。这样一来，查找的过程中会跳过一些没有必要的比较，所以相比于有序链表的查询，跳表的查询更快。可以证明，跳表查询的平均复杂度为 $O(\log n)$ 。

## 复杂度证明

### 时间复杂度

记 n 个节点的跳表的期望层数为 $L(n)$ 。

从后向前分析查找路径，这个过程可以分为从最底层爬到第 $L(n)$ 层和后续操作两个部分。在分析时，假设一个节点的具体信息在它被访问之前是未知的。

假设当前我们处于一个第 $i$ 层的节点 $x$ ，我们并不知道 $x$ 的最大层数和 $x$ 左侧节点的最大层数，只知道 $x$ 的最大层数至少为 $i$ 。如果 $x$ 的最大层数大于 $i$ ，那么下一步应该是向上走，这种情况的概率为 $p$ ；如果 $x$ 的最大层数等于 $i$ ，那么下一步应该是向左走，这种情况概率为 $1-p$ 。