fix formula syntax

}

```

* * *

---

这是一个稍微复杂一些的例子。

于是考虑构造一个更大的矩阵。

$$

\begin{bmatrix}f_n& f_{n-1}& n& 3^n & 1\end{bmatrix}$$ 

我们希望构造一个递推矩阵可以转移到

\begin{bmatrix}f_n& f_{n-1}& n& 3^n & 1\end{bmatrix}

$$

\\begin{bmatrix}

f_{n+1}& f_{n}& n+1& 3^{n+1} & 1

\\end{bmatrix}

我们希望构造一个递推矩阵可以转移到

$$

转移矩阵即为

\begin{bmatrix}

f_{n+1}& f_{n}& n+1& 3^{n+1} & 1

\end{bmatrix}

$$

\\begin{bmatrix}

7 & 1 & 0 & 0 & 0\\6 & 0 & 0 & 0 & 0\\5 & 0 & 1 & 0 & 0\\4 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 1

\\end{bmatrix}

转移矩阵即为

$$

\begin{bmatrix}

7 & 1 & 0 & 0 & 0\\

6 & 0 & 0 & 0 & 0\\

5 & 0 & 1 & 0 & 0\\

4 & 0 & 0 & 3 & 0\\

0 & 0 & 1 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

### 矩阵表达修改

???note "「THUSCH 2017」大魔法师"

下面将举几个例子。

$A_i = A_i + v$ 的转移

$$

\\begin{bmatrix}

$$

\begin{bmatrix}

A & B & C & 1

\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\v & 0 & 0 & 1\\\\end{bmatrix}=

\\begin{bmatrix}

A+v & B & C & 1\\\\end{bmatrix}

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\\

0 & 1 & 0 & 0\\

0 & 0 & 1 & 0\\

v & 0 & 0 & 1\\

\end{bmatrix}=

\begin{bmatrix}

A+v & B & C & 1\\

\end{bmatrix}

$$

$B_i=B_i \cdot v$ 的转移

$$

\\begin{bmatrix}

$$

\begin{bmatrix}

A & B & C & 1

\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\\0 & v & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\\\end{bmatrix}=

\\begin{bmatrix}

A & B \\cdot v & C & 1\\\\end{bmatrix}

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\\

0 & v & 0 & 0\\

0 & 0 & 1 & 0\\

0 & 0 & 0 & 1\\

\end{bmatrix}=

\begin{bmatrix}

A & B \cdot v & C & 1\\

\end{bmatrix}

$$

---

???note "「LibreOJ 6208」树上询问"

    $n,~m \leq 100000, ~-10 \leq d \leq 10$

若直接思考，下放操作和维护信息并不是很好想。但是矩阵可以轻松地表达。

$$

\\begin{aligned}

\\begin{bmatrix}k & t & 1 \\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\d & 0 & 1

\\end{bmatrix}

$$

\begin{aligned}

\begin{bmatrix}k & t & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

d & 0 & 1

\end{bmatrix}

&=

\\begin{bmatrix}k+d & t & 1 \\end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix}k & t & 1 \\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}

1 & d & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1

\\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}k+d & t & 1 \end{bmatrix}\\

\begin{bmatrix}k & t & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

1 & d & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

&=

\\begin{bmatrix}k & t+d \\times k & 1 \\end{bmatrix}

\\end{aligned}

\begin{bmatrix}k & t+d \times k & 1 \end{bmatrix}

\end{aligned}

$$

### 定长路径统计

???+note "问题描述"

显然，该邻接矩阵对应 $k=1$ 时的答案。

假设我们知道长度为 $k$ 的路径条数构成的矩阵，记为矩阵 $C_k$ ，我们想求 $C_{k+1}$ 。显然有 DP 转移方程

$$

C_{k+1}[i,j]= \\sum_{p = 1}^{n} C_k[i,p]\\cdot G[p,j]

$$

我们可以把它看作矩阵乘法的运算，于是上述转移可以描述为

C_{k+1}[i,j] = \sum_{p = 1}^{n} C_k[i,p] \cdot G[p,j]

$$

C\_{k+1} = C_k \\cdot G

我们可以把它看作矩阵乘法的运算，于是上述转移可以描述为

$$

那么把这个递推式展开可以得到

C_{k+1} = C_k \cdot G

$$

C_k = \\underbrace{G \\cdot G \\cdots G}_{k \\text{ 次}} = G^k

那么把这个递推式展开可以得到

$$

C_k = \underbrace{G \cdot G \cdots G}_{k \text{ 次}} = G^k

$$

要计算这个矩阵幂，我们可以使用快速幂（二进制取幂）的思想，在 $O(n^3 \log_2 k)$ 的复杂度内计算结果。

### 定长最短路

我们仍构造这个图的邻接矩阵 $G$ ， $G[i,j]$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的边权。如果 $i,j$ 两点之间没有边，那么 $G[i,j]=\infty$ 。（有重边的情况取边权的最小值）

显然上述矩阵对应 $k=1$ 时问题的答案。我们仍假设我们知道 $k$ 的答案，记为矩阵 $L_k$ 。现在我们想求 $k+1$ 的答案。显然有转移方程

$$

L_{k+1}[i,j]= \\min_{1\\le p \\le n} \\left{L_k[i,p]+ G[p,j]\\right}

$$

事实上我们可以类比矩阵乘法，你发现上述转移只是把矩阵乘法的乘积求和变成相加取最小值，于是我们定义这个运算为 $\odot$ ，即

L_{k+1}[i,j] = \min_{1\le p \le n} \left\{L_k[i,p] + G[p,j]\right\}

$$

A \\odot B = C~~\\Longleftrightarrow~~C[i,j]=\\min\_{1\\le p \\le n}\\left{A[i,p]+ B[p,j]\\right}

事实上我们可以类比矩阵乘法，你发现上述转移只是把矩阵乘法的乘积求和变成相加取最小值，于是我们定义这个运算为 $\odot$ ，即

$$

于是得到

A \odot B = C~~\Longleftrightarrow~~C[i,j]=\min_{1\le p \le n}\left\{A[i,p] + B[p,j]\right\}

$$

L\_{k+1} = L_k \\odot G

于是得到

$$

展开递推式得到

L_{k+1} = L_k \odot G

$$

L_k = \\underbrace{G \\odot \\ldots \\odot G}_{k\\text{ 次}} = G^{\\odot k}

展开递推式得到

$$

L_k = \underbrace{G \odot \ldots \odot G}_{k\text{ 次}} = G^{\odot k}

$$

我们仍然可以用矩阵快速幂的方法计算上式，因为它显然是具有结合律的。时间复杂度 $O(n^3 \log_2 k)$ 。

### 限长路径计数/最短路

-    [洛谷 P1939【模板】矩阵加速（数列）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1939) ， $\text{base}$ 矩阵变成了 $3 \times 3$ 的矩阵，推导过程与上面差不多。

     **本页面部分内容译自博文 [Кратчайшие пути фиксированной длины, количества путей фиксированной длины](http://e-maxx.ru/algo/fixed_length_paths) 与其英文翻译版 [Number of paths of fixed length/Shortest paths of fixed length](https://cp-algorithms.com/graph/fixed_length_paths.html) 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。** 

$$