按PR的要求核对并订正

3. 对一个结点取 v 的 $\min$（这里忽略暴搜的过程，假定标记满足添加的条件），除了更新卫星信息，我们要与区间 $\max$ 的标记做比较。如果 v 小于区间 $\max$ 的标记，则所有的数最后都会变成 v，那么把区间 $\max$ 的标记也变成 v。否则不管。

4. 区间取 v 的 $\max$ 同理。

另外，BZOJ 这道题卡常...... 多数组线段树的常数比结构体线段树的常数大...... 在维护信息的时侯，当只有一两个数的时侯可能发生数集重合，比如一个数既是最大值又是次小值。这种要特判。

另外，BZOJ 这道题卡常……多数组线段树的常数比结构体线段树的常数大……在维护信息的时侯，当只有一两个数的时侯可能发生数集重合，比如一个数既是最大值又是次小值。这种要特判。

```cpp

##include<cstdio>

> 3. 对 A 做区间加

> 4. 询问 B 的区间和

>

> 每次操作完后，如果 $A_i$ 的值发生变化，就给 $B_i$ 加 1. $n,m\le 3\times 10^5$。

> 每次操作完后，如果 $A_i$ 的值发生变化，就给 $B_i$ 加 1。 $n,m\le 3\times 10^5$。

先考虑最容易的区间加操作。只要 $x\neq 0$ 那么整个区间的数都变化，所以给 B 作一次区间加即可。

#### 历史最大值

简单地说，一个位置的历史最大值就是当前位置下曾经出现过的数的最大值。形式化地定义，我们定义一个辅助数组 B，一开始与 A 完全相同。在 A 的每次操作后，我们对整个数组取 Max

$$

\forall i\in[1,n],\ B_i=\max(B_i,A_i)

$$

这时，我们将 $B_i$ 称作这个位置的历史最大值，

#### 历史最小值

#### 历史版本和

辅助数组 B 一开始全部是 0。在每一次操作后，我们把整个 A 数组累加到 B 数组上

$$

\forall i\in[1,n], \ B_i=B_i+A_i

$$

我们称 $B_i$ 为 i 这个位置上的历史版本和。

接下来，我们将历史最值问题分成四类讨论。

> 序列 AB 一开始相同：

>

> 1. 对 A 做区间覆盖 x

> 2. 对 A 做区间加 x

> 3. 询问 A 的区间 Max

> 4. 询问 B 的区间 Max

> 1. 对 A 做区间覆盖 $x$

> 2. 对 A 做区间加 $x$

> 3. 询问 A 的区间 $\max$

> 4. 询问 B 的区间 $\max$

>

> 每次操作后，我们都进行一次更新，$\forall i\in [1,n],\ B_i=\max(B_i,A_i)$。$n,m\le 10^5$。

我们先不考虑操作 1. 那么只有区间加的操作，我们维护标记 Add 表示当前区间增加的值，这个标记可以解决区间 $\max$ 的问题。 接下来考虑历史区间 Max。我们定义标记 Pre，该标记的含义是：在该标记的生存周期内，Add 标记的历史最大值。

我们先不考虑操作 1。 那么只有区间加的操作，我们维护标记 Add 表示当前区间增加的值，这个标记可以解决区间 $\max$ 的问题。 接下来考虑历史区间 Max。我们定义标记 Pre，该标记的含义是：在该标记的生存周期内，Add 标记的历史最大值。

这个定义可能比较模糊。因此我们先解释一下标记的生存周期。一个标记会经历这样的过程：

为什么要定义生存周期？利用这个概念，我们可以证明：在一个结点标记的生存周期内，其子结点均不会发生任何变化，并保留在这个生存周期之前的状态。道理很简单，因为在这个期间你是没有下传标记的。

于是，你就可以保证，在当前标记生存周期内的历史 Add 的最大值是可以更新到子结点的标记和信息上的。因为子结点的标记和信息在这个时间段内都没有变过。于是我们把 u 的标记下传给它的儿子 s，不难发现

$$

Pre_s=\max(Pre_s,Pre_u+Add_s),Add_s=Add_u+Add_s

$$

那么信息的更新也是类似的，拿对应的标记更新即可。

接下来，我们考虑操作 1。