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### 倍增算法

倍增算法是最经典的 LCA 求法，他是朴素算法的改进算法。通过预处理 `fa[x][i]` 数组，游标可以快速移动，大幅减少了游标跳转次数。 `fa[x][i]` 表示点 $x$ 的第 $2^i$ 个祖先。 `fa[x][i]` 数组可以通过 dfs 预处理出来。

倍增算法是最经典的 LCA 求法，他是朴素算法的改进算法。通过预处理 $fa_{x,i}$ 数组，游标可以快速移动，大幅减少了游标跳转次数。$fa_{x,i}$ 表示点 $x$ 的第 $2^i$ 个祖先。$fa_{x,i}$ 数组可以通过 dfs 预处理出来。

现在我们看看如何优化这些跳转：

在调整游标的第一阶段中，我们可以计算出 $u,v$ 两点的深度之差，设其为 $y$ 。通过将 $y$ 进行二进制拆分，我们将 $y$ 次游标跳转优化为 `count_one_in_binary_representation(y)` 次游标跳转。

在第二阶段中，我们从最大的 $i$ 开始循环尝试，一直尝试到 $0$ （包括 $0$ ），如果 `fa[u][i] != fa[v][i]` ，则令 `u = fa[u][i]; v = fa[v][i]` ，那么最后的 LCA 为 `fa[u][0]` 。

在调整游标的第一阶段中，我们要将 $u,v$ 两点跳转到同一深度。我们可以计算出 $u,v$ 两点的深度之差，设其为 $y$ 。通过将 $y$ 进行二进制拆分，我们将 $y$ 次游标跳转优化为「$y$ 的二进制表示所含 `1` 的个数」次游标跳转。

在第二阶段中，我们从最大的 $i$ 开始循环尝试，一直尝试到 $0$ （包括 $0$ ），如果 $fa_{u,i}\not=fa_{v,i}$，则 $u\gets fa_{u,i},v\gets fa_{v,i}$，那么最后的 LCA 为 `fa[u][0]` 。

倍增算法的预处理时间复杂度为 $O(n \log n)$ ，单次查询时间复杂度为 $O(\log n)$ 。

另外倍增算法可以通过交换 `fa` 数组的两维使较小维放在前面。这样可以减少 cache miss 次数，提高程序效率。

### 用欧拉序列转化为 RMQ 问题

对一棵树进行 DFS，无论是第一次访问还是回溯，每次到达一个结点时都将编号记录下来，可以得到一个长度为 $2n-1$ 的序列，这个序列被称作这棵树的欧拉序列（可以看成是这棵树的一条欧拉回路所经过的节点构成的序列）。

对一棵树进行 DFS，无论是第一次访问还是回溯，每次到达一个结点时都将编号记录下来，可以得到一个长度为 $2n-1$ 的序列，这个序列被称作这棵树的欧拉序列。

在下文中，把结点 $u$ 在欧拉序列中第一次出现的位置编号记为 $pos(u)$ （也称作节点 $u$ 的欧拉序），把欧拉序列本身记作 $E[1..2n-1]$ 。