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docs/math/bignum.md

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@@ -32,11 +32,11 @@ 
由此不难写出读入高精度数字的代码：



```cpp

void clear(int a[LEN]) {

void clear(int a[]) {

  for (int i = 0; i < LEN; ++i) a[i] = 0;

}



void read(int a[LEN]) {

void read(int a[]) {

  static char s[LEN + 1];

  scanf("%s", s);
@@ -53,7 +53,7 @@ void read(int a[LEN]) { 
输出也按照存储的逆序输出。由于不希望输出前导零，故这里从最高位开始向下寻找第一个非零位，从此处开始输出；终止条件 `i >= 1` 而不是 `i >= 0` 是因为当整个数字等于 $0$ 时仍希望输出一个字符 `0` 。



```cpp

void print(int a[LEN]) {

void print(int a[]) {

  int i;

  for (i = LEN - 1; i >= 1; --i)

    if (a[i] != 0) break;
@@ -73,11 +73,11 @@ void print(int a[LEN]) { 
    

    int a[LEN], b[LEN];

    

    void clear(int a[LEN]) {

    void clear(int a[]) {

      for (int i = 0; i < LEN; ++i) a[i] = 0;

    }

    

    void read(int a[LEN]) {

    void read(int a[]) {

      static char s[LEN + 1];

      scanf("%s", s);
@@ -87,7 +87,7 @@ void print(int a[LEN]) { 
      for (int i = 0; i < len; ++i) a[len - i - 1] = s[i] - '0';

    }

    

    void print(int a[LEN]) {

    void print(int a[]) {

      int i;

      for (i = LEN - 1; i >= 1; --i)

        if (a[i] != 0) break;
@@ -118,7 +118,7 @@ void print(int a[LEN]) { 
也就是从最低位开始，将两个加数对应位置上的数码相加，并判断是否达到或超过 $10$ 。如果达到，那么处理进位：将更高一位的结果上增加 $1$ ，当前位的结果减少 $10$ 。



```cpp

void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

void add(int a[], int b[], int c[]) {

  clear(c);



  // 高精度实现中，一般令数组的最大长度 LEN 比可能的输入大一些
@@ -147,11 +147,11 @@ void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
    

    int a[LEN], b[LEN], c[LEN];

    

    void clear(int a[LEN]) {

    void clear(int a[]) {

      for (int i = 0; i < LEN; ++i) a[i] = 0;

    }

    

    void read(int a[LEN]) {

    void read(int a[]) {

      static char s[LEN + 1];

      scanf("%s", s);
@@ -161,7 +161,7 @@ void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
      for (int i = 0; i < len; ++i) a[len - i - 1] = s[i] - '0';

    }

    

    void print(int a[LEN]) {

    void print(int a[]) {

      int i;

      for (i = LEN - 1; i >= 1; --i)

        if (a[i] != 0) break;
@@ -169,7 +169,7 @@ void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
      putchar('\n');

    }

    

    void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

    void add(int a[], int b[], int c[]) {

      clear(c);

    

      for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -201,7 +201,7 @@ void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
从个位起逐位相减，遇到负的情况则向上一位借 $1$ 。整体思路与加法完全一致。



```cpp

void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

void sub(int a[], int b[], int c[]) {

  clear(c);



  for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -227,11 +227,11 @@ void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
    

    int a[LEN], b[LEN], c[LEN];

    

    void clear(int a[LEN]) {

    void clear(int a[]) {

      for (int i = 0; i < LEN; ++i) a[i] = 0;

    }

    

    void read(int a[LEN]) {

    void read(int a[]) {

      static char s[LEN + 1];

      scanf("%s", s);
@@ -241,7 +241,7 @@ void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
      for (int i = 0; i < len; ++i) a[len - i - 1] = s[i] - '0';

    }

    

    void print(int a[LEN]) {

    void print(int a[]) {

      int i;

      for (i = LEN - 1; i >= 1; --i)

        if (a[i] != 0) break;
@@ -249,7 +249,7 @@ void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
      putchar('\n');

    }

    

    void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

    void sub(int a[], int b[], int c[]) {

      clear(c);

    

      for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -297,7 +297,7 @@ void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
当然，也是出于这个原因，这个方法需要特别关注乘数 $b$ 的范围。若它和 $10^9$ （或相应整型的取值上界）属于同一数量级，那么需要慎用高精度—单精度乘法。



```cpp

void mul_short(int a[LEN], int b, int c[LEN]) {

void mul_short(int a[], int b, int c[]) {

  clear(c);



  for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -328,7 +328,7 @@ void mul_short(int a[LEN], int b, int c[LEN]) { 
注意这个过程与竖式乘法不尽相同，我们的算法在每一步乘的过程中并不进位，而是将所有的结果保留在对应的位置上，到最后再统一处理进位，但这不会影响结果。



```cpp

void mul(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

void mul(int a[], int b[], int c[]) {

  clear(c);



  for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -360,7 +360,7 @@ void mul(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) { 
```cpp

// 被除数 a 以下标 last_dg 为最低位，是否可以再减去除数 b 而保持非负

// len 是除数 b 的长度，避免反复计算

inline bool greater_eq(int a[LEN], int b[LEN], int last_dg, int len) {

inline bool greater_eq(int a[], int b[], int last_dg, int len) {

  // 有可能被除数剩余的部分比除数长，这个情况下最多多出 1 位，故如此判断即可

  if (a[last_dg + len] != 0) return true;

  // 从高位到低位，逐位比较
@@ -372,7 +372,7 @@ inline bool greater_eq(int a[LEN], int b[LEN], int last_dg, int len) { 
  return true;

}



void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) {

void div(int a[], int b[], int c[], int d[]) {

  clear(c);

  clear(d);
@@ -422,11 +422,11 @@ void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) { 
    

    int a[LEN], b[LEN], c[LEN], d[LEN];

    

    void clear(int a[LEN]) {

    void clear(int a[]) {

      for (int i = 0; i < LEN; ++i) a[i] = 0;

    }

    

    void read(int a[LEN]) {

    void read(int a[]) {

      static char s[LEN + 1];

      scanf("%s", s);
@@ -436,7 +436,7 @@ void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) { 
      for (int i = 0; i < len; ++i) a[len - i - 1] = s[i] - '0';

    }

    

    void print(int a[LEN]) {

    void print(int a[]) {

      int i;

      for (i = LEN - 1; i >= 1; --i)

        if (a[i] != 0) break;
@@ -444,7 +444,7 @@ void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) { 
      putchar('\n');

    }

    

    void add(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

    void add(int a[], int b[], int c[]) {

      clear(c);

    

      for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -456,7 +456,7 @@ void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) { 
      }

    }

    

    void sub(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

    void sub(int a[], int b[], int c[]) {

      clear(c);

    

      for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -468,7 +468,7 @@ void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) { 
      }

    }

    

    void mul(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

    void mul(int a[], int b[], int c[]) {

      clear(c);

    

      for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i) {
@@ -481,7 +481,7 @@ void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) { 
      }

    }

    

    inline bool greater_eq(int a[LEN], int b[LEN], int last_dg, int len) {

    inline bool greater_eq(int a[], int b[], int last_dg, int len) {

      if (a[last_dg + len] != 0) return true;

      for (int i = len - 1; i >= 0; --i) {

        if (a[last_dg + i] > b[i]) return true;
@@ -490,7 +490,7 @@ void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) { 
      return true;

    }

    

    void div(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN], int d[LEN]) {

    void div(int a[], int b[], int c[], int d[]) {

      clear(c);

      clear(d);
@@ -628,7 +628,7 @@ $$ 
      return r;

    }

    

    void karatsuba_mul(int a[LEN], int b[LEN], int c[LEN]) {

    void karatsuba_mul(int a[], int b[], int c[]) {

      int *r = karatsuba_polymul(LEN - 1, a, b);

      memcpy(c, r, sizeof(int) * LEN);

      for (int i = 0; i < LEN - 1; ++i)