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docs/misc/gray-code.md

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@@ -123,6 +123,7 @@ int rev_g(int g) { 
## 习题



-    [CSP S2 2019 D1T1](https://www.luogu.org/problem/P5657) Difficulty: easy



-    [SGU #249 Matrix](http://codeforces.com/problemsets/acmsguru/problem/99999/249) Difficulty: medium



-   2019 CSP-S D1T1

docs/string/pam.md

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## 概述



回文树 (EER Tree，Palindromic Tree，也被称为回文自动机) 是一种可以存储一个串中所有回文子串的高效数据结构，最初是由 Mikhail Rubinchik 和 Arseny M. Shur 在 2015 年发表。它的灵感来源于后缀树等字符串后缀数据结构，使用回文树可以简单高效地解决一系列涉及回文串的问题。

回文树 (EER Tree，Palindromic Tree，也被称为回文自动机）是一种可以存储一个串中所有回文子串的高效数据结构，最初是由 Mikhail Rubinchik 和 Arseny M. Shur 在 2015 年发表。它的灵感来源于后缀树等字符串后缀数据结构，使用回文树可以简单高效地解决一系列涉及回文串的问题。



## 结构
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![](./images/pam1.png)



和其它自动机类似的，回文树也是由转移边和后缀链接 (fail 指针) 组成，每个节点都可以代表一个回文子串。

和其它自动机类似的，回文树也是由转移边和后缀链接 (fail 指针）组成，每个节点都可以代表一个回文子串。



因为回文串长度分为奇数和偶数，我们可以像 manacher 那样加入一个不在字符集中的字符（如 '#'）作为分隔符来将所有回文串的长度都变为奇数，但是这样过于麻烦了。有没有更好的办法呢？
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证明：考虑使用数学归纳法。



+ 当 $|s| =1$ 时，$s$ 只有一个字符，同时也只有一个子串，并且这个子串是回文的，因此结论成立。

-   当 $|s| =1$ 时， $s$ 只有一个字符，同时也只有一个子串，并且这个子串是回文的，因此结论成立。



+ 当 $|s| >1$ 时，设 $t=sc$，其中 $t$ 表示 $s$ 最后增加一个字符 $c$ 后形成的字符串，假设结论对 $s$ 串成立。考虑以最后一个字符 $c$ 结尾的回文子串，假设它们的左端点由小到大排序为 $l_1,l_2,\dots,l_k$。由于 $t[l_1..|t|]$ 是回文串，因此对于所有位置 $l_1 \le p \le |t|$，有 $t[p..|t|]=t[l_1..l_1+|t|-p]$。所以，对于 $1 < i \le k$，$t[l_i..|t|]$ 已经在 $t[1..|t|-1]$ 中出现过。因此，每次增加一个字符，本质不同的回文子串个数最多增加 $1$ 个。

-   当 $|s| >1$ 时，设 $t=sc$ ，其中 $t$ 表示 $s$ 最后增加一个字符 $c$ 后形成的字符串，假设结论对 $s$ 串成立。考虑以最后一个字符 $c$ 结尾的回文子串，假设它们的左端点由小到大排序为 $l_1,l_2,\dots,l_k$ 。由于 $t[l_1..|t|]$ 是回文串，因此对于所有位置 $l_1 \le p \le |t|$ ，有 $t[p..|t|]=t[l_1..l_1+|t|-p]$ 。所以，对于 $1 < i \le k$ ， $t[l_i..|t|]$ 已经在 $t[1..|t|-1]$ 中出现过。因此，每次增加一个字符，本质不同的回文子串个数最多增加 $1$ 个。



由数学归纳法，可知该定理成立。
@@ -100,9 +100,11 @@ namespace pam { 
  return sz;

}

void clear() {

        sz = -1; last = 0;

  sz = -1;

  last = 0;

  s[tot = 0] = '$';

        node(0); node(-1);

  node(0);

  node(-1);

  fail[0] = 1;

}

int getfail(int x) {
@@ -130,7 +132,7 @@ namespace pam { 
  }

  return ans;

}

}

}  // namespace pam



char s[maxn];
@@ -147,20 +149,20 @@ int main() { 


## 例题



+ [最长双回文串](https://www.luogu.org/problem/P4555)

-    [最长双回文串](https://www.luogu.org/problem/P4555) 



+ [拉拉队排练](https://www.luogu.org/problem/P1659)

-    [拉拉队排练](https://www.luogu.org/problem/P1659) 



+ [「SHOI2011」双倍回文](https://www.luogu.org/problem/P4287)

-    [「SHOI2011」双倍回文](https://www.luogu.org/problem/P4287) 



+ [HDU 5421 Victor and String](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5421)

-    [HDU 5421 Victor and String](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5421) 



+ [CodeChef Palindromeness](https://www.codechef.com/LTIME23/problems/PALPROB)

-    [CodeChef Palindromeness](https://www.codechef.com/LTIME23/problems/PALPROB) 



## 相关资料



+ [EERTREE: An Efficient Data Structure for Processing Palindromes in Strings](https://arxiv.org/pdf/1506.04862)

-    [EERTREE: An Efficient Data Structure for Processing Palindromes in Strings](https://arxiv.org/pdf/1506.04862)



+ [Palindromic tree](http://adilet.org/blog/palindromic-tree/)

-    [Palindromic tree](http://adilet.org/blog/palindromic-tree/) 



+ 2017 年 IOI 国家候选队论文集 回文树及其应用 翁文涛
 
-   2017 年 IOI 国家候选队论文集 回文树及其应用 翁文涛