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## 简介

ST 表是用于解决 **可重复贡献问题** 的数据结构，例如区间 RMQ。

ST 表是用于解决 **可重复贡献问题** 的数据结构。

??? note:"什么是可重复贡献问题？"

    **可重复贡献问题** 是指对于运算 $\operatorname{opt}$，满足 $x\operatorname{opt} x=x$，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。例如，最大值有 $\max(x,x)=x$，gcd 有 $\operatorname{gcd}(x,x)=x$，所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题。像区间和就不具有这个性质，如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了，则会导致重叠部分被计算两次，这是我们所不愿意看到的。另外， $\operatorname{opt}$ 还必须满足结合律才能使用 ST 表求解。

    ??? note:"什么是RMQ？"

        RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。解决 RMQ 问题有很多种方法，可以参考 [RMQ 专题](../topic/rmq.md) 。

## 引入

基于倍增思想，我们考虑如何求出区间最大值。可以发现，如果按照一般的倍增流程，每次跳 $2^i$ 步的话，询问时的复杂度仍旧是 $\Theta(\log n)$ ，并没有比线段树更优，反而预处理一步还比线段树慢。

但是，我们发现 $\max(x,x)=x$ ，也就是说，区间最大值是一个具有“可重复贡献”性质的问题，也就是说，即使用来求最大值的预处理区间有重叠部分，只要这些区间的并是所求的区间，最终计算出的答案就是正确的。像区间和就不具有这个性质，如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了，则会导致重叠部分被计算两次，这是我们所不愿意看到的。

我们发现 $\max(x,x)=x$ ，也就是说，区间最大值是一个具有“可重复贡献”性质的问题。即使用来求解的预处理区间有重叠部分，只要这些区间的并是所求的区间，最终计算出的答案就是正确的。

如果手动模拟一下，可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间，也就是说，询问时的时间复杂度被降至 $\Theta(1)$ ，在处理有大量询问的题目时十分有效。

如果手动模拟一下，可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间，也就是说询问时的时间复杂度可以被降至 $\Theta(1)$ ，在处理有大量询问的题目时十分有效。

具体实现如下：

令 $f(i,j)$ 表示区间 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值。

显然， $f(i,0)=a_i$ 。

显然 $f(i,0)=a_i$ 。

根据定义式，第二维就相当于倍增的时候“跳了 $2^j-1$ 步”，依据倍增的思路，写出状态转移方程： $f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))$ 。

其中 $s=\left\lfloor\log_2(r-l+1)\right\rfloor$ 。

根据上面的论证，由于最大值是“可重复贡献问题”，重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖了 $[l,r]$ ，可以保证答案的正确性。

根据上面对于“可重复贡献问题”的论证，由于最大值是“可重复贡献问题”，重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖了 $[l,r]$ ，可以保证答案的正确性。

## 模板代码