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f_{i,j}=\max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-w_{i}}+v_{i})

$$

在程序实现的时候，由于对当前状态有影响的只有 $f_{i-1}$ ，故可以去掉第一维，直接用 $f_{i}$ 来表示处理到当前物品时背包容量为 $i$ 的最大价值，得出以下方程：

这里如果直接采用二维数组对状态进行记录，会出现 MLE。可以考虑改用滚动数组的形式来优化。

由于对 $f_i$ 有影响的只有 $f_{i-1}$ ，可以去掉第一维，直接用 $f_{i}$ 来表示处理到当前物品时背包容量为 $i$ 的最大价值，得出以下方程：

$$

f_i=\max \left(f_i,f_{i-w_i}+v_i\right)

```cpp

for (int i = 1; i <= W; i++)

  for (int l = 0; l <= W - i; l++) f[l + w[i]] = max(f[l] + v[i], f[l + w[i]]);

  for (int l = 0; l <= W - w[i]; l++)

    f[l + w[i]] = max(f[l] + v[i], f[l + w[i]]);

// 由 f[i][l + w[i]] = max(max(f[i - 1][l + w[i]],f[i - 1][l] + w[i]),f[i][l +

// w[i]]); 简化而来

```

因此实际核心代码为

```cpp

for (int i = 1; i <= W; i++)

  for (int l = W - i; l >= 0; l--) f[l + i] = max(f[l] + w[i], f[l + i]);

for (int i = 1; i <= n; i++)

  for (int l = W; l >= w[i]; l--) f[l] = max(f[l], f[l - w[i]] + v[i]);

```

??? 例题代码

    ```cpp

    #include <iostream>

    const int maxn = 13010;

    int n, v, w[maxn], v[maxn], f[maxn];

    int n, W, w[maxn], v[maxn], f[maxn];

    int main() {

      std::cin >> n >> W;

      for (int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> w[i] >> v[i];

??? 例题代码

    ```cpp

    #include <iostream>

    const int maxn = 13010;

    int n, v, w[maxn], v[maxn], f[maxn];

    const int maxn = 1e5 + 10;

    int n, W, w[maxn], v[maxn], f[maxn];

    int main() {

      std::cin >> n >> W;

      std::cin >> W >> n;

      for (int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> w[i] >> v[i];

      for (int i = 1; i <= n; i++)

        for (int l = w[i]; l <= W; l++)