Update persistent-seg.md

![](./images/persistent-seg.png)

只更改了 $O(\log{n})$ 个结点，形成一条链，也就是说每次更改的结点数 = 树的高度。  

注意主席树不能使用堆式存储法，就是说不能用 $x\times 2$ , $x\times 2+1$ 来表示左右儿子，而是应该动态开点，并保存每个节点的左右儿子编号。  

所以我们只要在记录左右儿子的基础上存一下插入每个数的时候的根节点就可以持久化辣。

注意主席树不能使用堆式存储法，就是说不能用 $x\times 2$ , $x\times 2+1$ 来表示左右儿子，而是应该动态开点，并保存每个结点的左右儿子编号。  

所以我们只要在记录左右儿子的基础上存一下插入每个数的时候的根结点就可以持久化辣。

我们把问题简化一下：每次求 $[1,r]$ 区间内的 $k$ 小值。  

怎么做呢？只需要找到插入 r 时的根节点版本，然后用普通权值线段树（有的叫键值线段树/值域线段树）做就行了。

怎么做呢？只需要找到插入 r 时的根结点版本，然后用普通权值线段树（有的叫键值线段树/值域线段树）做就行了。

那么这个相信大家很简单都能理解，把问题扩展到原问题——求 $[l,r]$ 区间 $k$ 小值。  

这里我们再联系另外一个知识理解： **前缀和** 。  

那么至此，该问题解决！（完结撒花）

关于空间问题，我们分析一下：由于我们是动态开点的，所以一棵线段树只会出现 $2n-1$ 个结点。  

然后，有 $n$ 次修改，每次至多增加 $\log{n}+1$ 个结点。那么最坏情况结点数会达到 $2n-1+n(\log{n}+1)$ ，那么此题的 $n \leq 10^5$ ，通过计算得到 $\lceil\log_2{10^5}\rceil+1 = 18$ 。  

那么把 $n$ 和 $\log$ 的结果代入这个式子，变成 $2\times 10^5-1+18\times 10^5$ ，忽略掉 $-1$ ，大概就是 $20\times 10^5$ 。

然后，有 $n$ 次修改，每次至多增加 $\lceil\log_2{n}\rceil+1$ 个结点。因此，最坏情况下 $n$ 次修改后的结点总数会达到 $2n-1+n(\lceil\log_2{n}\rceil+1)$。

此题的 $n \leq 10^5$ ，通过计算可得单次修改最多增加 $\lceil\log_2{10^5}\rceil+1 = 18$ 个结点，故 $n$ 次修改后的结点总数为 $2\times 10^5-1+18\times 10^5$ ，忽略掉 $-1$ ，大概就是 $20\times 10^5$ 。

最后给一个忠告：千万不要吝啬空间！保守一点，直接上个 $2^5\times 10^5$ ，接近原空间的两倍（即 `n << 5` ）。  

（较真的同学请注意，如果你真的很吝啬，可以自己造个数据输出一下结点数量，但是如果数据没造好把自己卡掉了就~~尴尬了~~赖你了）

  int mid = l + r >> 1;

  ls[root] = build(l, mid);

  rs[root] = build(mid + 1, r);

  return root;  //返回该子树的根节点

  return root;  //返回该子树的根结点

}

int update(int k, int l, int r, int root)  //插入操作

{