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### 例子

$$

\qquad\begin{array}

\text{单位函数}&\displaystyle\epsilon(n)=[n=1]\\

\text{恒等函数}&\displaystyle\operatorname{id}_k(n)=n^k\\

\text{恒等函数的另一种记法}&\displaystyle \operatorname{id}(n)=id_1(n)=n\\

\text{常数函数}&\displaystyle 1(n)=1\\

\text{约数个数函数}&\operatorname{d}(n)=\displaystyle\sum_{d\mid n}1\\

\text{约数和函数}&\displaystyle\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d\\

\text{约数 $k$ 次幂函数}&\displaystyle\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k\\

\text{欧拉函数}&\displaystyle\varphi(n)=\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]\\

\text{莫比乌斯函数}&\displaystyle\mu(n)=

\begin{cases}

1 & n=1\\

(-1)^k &c_{1,2,\cdots,k}=1\quad(n=\displaystyle\prod_{i=1}^k {p_i}^{c_i})\\

0 & c_i>1

\end{cases}

\end{array}

$$

- 单位函数： $\epsilon(n)=[n=1]$

- 恒等函数：$\operatorname{id}_k(n)=n^k$

	$\operatorname{id}_{1}(n)$ 通常简记作 $\operatorname{id}(n)$。

- 常数函数：$1(n)=1$

- 除数函数：$\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}$

  $\sigma_{0}(n)$ 通常简记作 $\operatorname{d}(n)$ 或 $\tau(n)$，$\sigma_{1}(n)$ 通常简记作 $\sigma(n)$。

- 欧拉函数：$\varphi(n)=\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]$

- 莫比乌斯函数：$\mu(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & \exists d:d^{2} \mid n \\ (-1)^{\omega(n)} & otherwise\end{cases}$

  其中 $\omega(n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数，是一个加性函数。

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