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## 向量

（必修四）

（为人教版高中数学 A 版必修四内容）

> 平面的向量交错生长/织成/忧伤的网

> ——《膜你抄》

### 定义及相关概念

 **向量** ：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 **自由向量** ，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量

 **向量** ：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 **自由向量** ，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\vec a$ 或 $\mathbf{a}$。

 **有向线段** ：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素： **起点，方向，长度** ，知道了三要素，终点就唯一确定。我们用有向线段表示向量。

 **向量的模** ：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $|\overrightarrow{AB}|$ 。

 **向量的模** ：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为： $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\mathbf{a}|$。

 **零向量** ：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为： $\vec 0$ 或 $\mathbf{0}$ 。

 **单位向量** ：模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。

 **平行向量** ：方向相同或相反的两个 **非零** 向量。记作： $\vec a\parallel \vec b$ 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 **共线向量** 。

 **平行向量** ：方向相同或相反的两个 **非零** 向量。记作： $\mathbf a\parallel \mathbf b$ 。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 **共线向量** 。

 **相等向量** ：模相等且方向相同的向量。

 **相反向量** ：模相等且方向相反的向量。

 **向量的夹角** ：已知两个非零向量 $\vec a,\vec b$ ，作 $\overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b$ ，那么 $\theta=\angle AOB$ 就是向量 $\vec a$ 与向量 $\vec b$ 的夹角。记作： $\langle \vec a,\vec b\rangle$ 。显然当 $\theta=0$ 时两向量同向， $\theta=\pi$ 时两向量反向， $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\vec a\perp \vec b$ 。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$ 。

 **向量的夹角** ：已知两个非零向量 $\mathbf a,\mathbf b$ ，作 $\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\overrightarrow{OB}=\mathbf b$ ，那么 $\theta=\angle AOB$ 就是向量 $\mathbf a$ 与向量 $\mathbf b$ 的夹角。记作： $\langle \mathbf a,\mathbf b\rangle$ 。显然当 $\theta=0$ 时两向量同向， $\theta=\pi$ 时两向量反向， $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时我们说两向量垂直，记作 $\mathbf a\perp \mathbf b$ 。并且，我们规定 $\theta \in [0,\pi]$ 。

注意到平面向量具有方向性，我们并不能比较两个向量的大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 **交换律与结合律** 。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，我们考虑在向量做减法时也这么写。即： $\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$ 。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，我们考虑在向量做减法时也这么写。即： $\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)$ 。

这样，我们考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 **「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段** 。

#### 向量的数乘

规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\vec a$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 **数乘运算** ，记作 $\lambda \vec a$ ，它的长度与方向规定如下：

规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\mathbf a$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 **数乘运算** ，记作 $\lambda \mathbf a$ ，它的长度与方向规定如下：

1.   $|\lambda \vec a|=|\lambda||\vec a|$ ；

2.  当 $\lambda >0$ 时， $\lambda\vec a$ 与 $\vec a$ 同向，当 $\lambda =0$ 时， $\lambda \vec a=\vec 0$ ，当 $\lambda<0$ 时， $\lambda \vec a$ 与 $\vec a$ 方向相反。

1.   $|\lambda \mathbf a|=|\lambda||\mathbf a|$ ；

2.  当 $\lambda >0$ 时， $\lambda\mathbf a$ 与 $\mathbf a$ 同向，当 $\lambda =0$ 时， $\lambda \mathbf a=\mathbf 0$ ，当 $\lambda<0$ 时， $\lambda \mathbf a$ 与 $\mathbf a$ 方向相反。

我们根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

$$

\lambda(\mu \vec a)=(\lambda \mu)\vec a\\

(\lambda+\mu)\vec a=\lambda \vec a+\mu \vec a\\

\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda \vec a+\lambda \vec b

\lambda(\mu \mathbf a)=(\lambda \mu)\mathbf a\\

(\lambda+\mu)\mathbf a=\lambda \mathbf a+\mu \mathbf a\\

\lambda(\mathbf a+\mathbf b)=\lambda \mathbf a+\lambda \mathbf b

$$

特别地，我们有：

$$

(-\lambda)\vec a=-(\lambda \vec a)=-\lambda(\vec a)\\

\lambda(\vec a-\vec b)=\lambda \vec a-\lambda \vec b

(-\lambda)\mathbf a=-(\lambda \mathbf a)=-\lambda(\mathbf a)\\

\lambda(\mathbf a-\mathbf b)=\lambda \mathbf a-\lambda \mathbf b

$$

!!! note "判定两向量共线"

    两个 **非零** 向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 共线 $\Leftrightarrow$ 有唯一实数 $\lambda:$  $\vec b=\lambda \vec a$ 。

#### 判定两向量共线

两个 **非零** 向量 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$ 共线 $\Leftrightarrow$ 有唯一实数 $\lambda$，使得 $\mathbf b=\lambda \mathbf a$ 。

证明：由数乘的定义可知，对于 **非零** 向量 $\mathbf a$ ，如果存在实数 $\lambda$ ，使得 $\mathbf b=\lambda \mathbf a$ ，那么 $\mathbf a \parallel \mathbf b$ 。

证明：由数乘的定义可知，对于 **非零** 向量 $\vec a$ ，如果存在实数 $\lambda$ ，使得 $\vec b=\lambda \vec a$ ，那么 $\vec a \parallel \vec b$ 。  

反过来，如果 $\vec a\parallel \vec b$ ， $\vec a \not = \vec 0$ ，且 $|\vec b|=\mu |\vec a|$ ，那么当 $\vec a$ 与 $\vec b$ 同向时， $\vec b=\mu \vec a$ ，反向时 $\vec b=-\mu \vec a$ 。

反过来，如果 $\mathbf a\parallel \mathbf b$ ， $\mathbf a \not = \mathbf 0$ ，且 $|\mathbf b|=\mu |\mathbf a|$ ，那么当 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$ 同向时， $\mathbf b=\mu \mathbf a$ ，反向时 $\mathbf b=-\mu \mathbf a$ 。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

#### 平面向量基本定理

定理内容：如果两个向量 $\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$ ，使得与 $\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}$ 共面的任意向量 $\mathbf p$ 满足 $\mathbf p=x\mathbf{e_1}+y\mathbf{e_2}$。

平面向量那么多，我们想用尽可能少的量表示出所有平面向量，怎么办呢？

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

我们再加入一个向量，用两个 **不共线** 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样我们可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

!!! note "平面向量基本定理"

    如果两个向量 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$ ，使得与 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 共面的任意向量 $\vec p$ 满足 $\vec p=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ 。

在同一平面内的两个不共线的向量称为 **基底** 。

如果基底相互垂直，那么我们在分解的时候就是对向量 **正交分解** 。

如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 $i,j$ 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 $(x,y)$ 一一对应。

而有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点一一对应，那么我们作 $\overrightarrow{OP}=\vec p$ ，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

而有序实数对 $(x,y)$ 与平面直角坐标系上的点一一对应，那么我们作 $\overrightarrow{OP}=\mathbf p$ ，那么终点 $P(x,y)$ 也是唯一确定的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

#### 平面向量的坐标运算

### 平面向量的坐标运算

#### 平面向量线性运算

由平面向量的线性运算，我们可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

若两向量 $\vec a=(m,n),\vec b=(p,q)$ ，则：

若两向量 $\mathbf a=(m,n),\mathbf b=(p,q)$ ，则：

$$

\vec a+\vec b=(m+n,p+q)\\

\vec a-\vec b=(m-n,p-q)\\

k\vec a=(km,kn)

\mathbf a+\mathbf b=(m+n,p+q)\\

\mathbf a-\mathbf b=(m-n,p-q)\\

k\mathbf a=(km,kn)

$$

!!! note "求两点间距离"

#### 求一个向量的坐标表示

已知两点 $A(a,b),B(c,d)$ ，易证 $\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)$。

!!! note "平移一点"

#### 平移一点

有时候，我们需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样我们把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\overrightarrow{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

!!! note "三点共线的判定"

#### 三点共线的判定

若 $A,B,C$ 三点共线，则 $\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$ 。

### 向量的数量积

已知两个向量 $\vec a,\vec b$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么：

已知两个向量 $\mathbf a,\mathbf b$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么：

$$

\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta

\mathbf a \cdot \mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos \theta

$$

就是这两个向量的 **数量积** ，也叫 **点积** 或 **内积** 。其中称 $|\vec a|\cos \theta$ 为 $\vec a$ 在 $\vec b$ 方向上的投影。数量积的几何意义即为：数量积 $\vec a \cdot \vec b$ 等于 $\vec a$ 的模与 $\vec b$ 在 $\vec a$ 方向上的投影的乘积。

就是这两个向量的 **数量积** ，也叫 **点积** 或 **内积** 。其中称 $|\mathbf a|\cos \theta$ 为 $\mathbf a$ 在 $\mathbf b$ 方向上的投影。数量积的几何意义即为：数量积 $\mathbf a \cdot \mathbf b$ 等于 $\mathbf a$ 的模与 $\mathbf b$ 在 $\mathbf a$ 方向上的投影的乘积。

我们发现，这种运算得到的结果是一个实数，为标量，并不属于向量的线性运算。

!!! note "判定两向量垂直"

    $\vec a \perp \vec b$  $\Leftrightarrow$  $\vec a\cdot \vec b=0$ 

数量积运算有以下应用：

#### 判定两向量垂直

$\mathbf a \perp \mathbf b$  $\Leftrightarrow$  $\mathbf a\cdot \mathbf b=0$ 

#### 判定两向量共线

$\mathbf a = \lambda \mathbf b$  $\Leftrightarrow$  $\mathbf a\cdot \mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|$ 

#### 数量积的坐标运算

若 $\mathbf a=(m,n),\mathbf b=(p,q),$ 则 $\mathbf a\cdot \mathbf b=mp+nq$ 

!!! note "判定两向量共线"

    $\vec a = \lambda \vec b$  $\Leftrightarrow$  $\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b|$ 

#### 向量的模

!!! note "数量积的坐标运算"

    若 $\vec a=(m,n),\vec b=(p,q),$ 则 $\vec a\cdot \vec b=mp+nq$ 

$|\mathbf a|=\sqrt {m^2+n^2}$ 

!!! note "向量的模"

    $|\vec a|=\sqrt {m^2+n^2}$ 

#### 两向量的夹角

!!! note "两向量的夹角"

    $\cos \theta=\cfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$ 

$\cos \theta=\cfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}$ 

### 扩展

#### 向量与矩阵

（选修 4-2）

（为人教版高中数学 A 版选修 4-2 内容）

我们发现，矩阵运算的相关法则与向量运算相似，于是考虑将向量写成矩阵形式，这样就将向量问题化为矩阵问题了。

#### 向量积

我们定义向量 $\vec a,\vec b$ 的向量积为一个向量，记为 $\vec a\times \vec b$ ，其模与方向定义如下：

我们定义向量 $\mathbf a,\mathbf b$ 的向量积为一个向量，记为 $\mathbf a\times \mathbf b$ ，其模与方向定义如下：

1.   $|\vec a\times \vec b|=|\vec a||\vec b|\sin \langle \vec a,\vec b\rangle$ ；

2.   $\vec a\times \vec b$ 与 $\vec a,\vec b$ 都垂直，且 $\vec a,\vec b,\vec a\times \vec b$ 符合右手法则。

1.   $|\mathbf a\times \mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin \langle \mathbf a,\mathbf b\rangle$ ；

2.   $\mathbf a\times \mathbf b$ 与 $\mathbf a,\mathbf b$ 都垂直，且 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a\times \mathbf b$ 符合右手法则。

向量积也叫外积。

由于向量积涉及到空间几何与线性代数知识，所以并未在高中课本中出现。然而注意到向量积的模，联想到三角形面积计算公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ ，我们可以发现向量积的几何意义是： ** $|\vec a\times \vec b|$ 是以 $\vec a,\vec b$ 为邻边的平行四边形的面积** 。

由于向量积涉及到空间几何与线性代数知识，所以并未在高中课本中出现。然而注意到向量积的模，联想到三角形面积计算公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ ，我们可以发现向量积的几何意义是： ** $|\mathbf a\times \mathbf b|$ 是以 $\mathbf a,\mathbf b$ 为邻边的平行四边形的面积** 。

知道这个，多边形面积就很好算了。

我们有一个不完全的坐标表示：记 $\vec a=(m,n),\vec b=(p,q)$ ，那么两个向量的向量积的竖坐标为 $mq-np$ ，我们根据右手法则和竖坐标符号可以推断出 $\vec b$ 相对于 $\vec a$ 的方向，若在逆时针方向竖坐标为正值，反之为负值，简记为 **顺负逆正** 。

我们有一个不完全的坐标表示：记 $\mathbf a=(m,n),\mathbf b=(p,q)$ ，那么两个向量的向量积的竖坐标为 $mq-np$ ，我们根据右手法则和竖坐标符号可以推断出 $\mathbf b$ 相对于 $\mathbf a$ 的方向，若在逆时针方向竖坐标为正值，反之为负值，简记为 **顺负逆正** 。

#### 向量旋转

设 $\vec a=(x,y)$ ，倾角为 $\theta$ ，长度为 $l=\sqrt{x^2+y^2}$。则 $x=l\cos \theta,y=l\sin\theta$。令其顺时针旋转 $\alpha$ 度角，得到向量 $\vec b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))$。

设 $\mathbf a=(x,y)$ ，倾角为 $\theta$ ，长度为 $l=\sqrt{x^2+y^2}$。则 $x=l\cos \theta,y=l\sin\theta$。令其顺时针旋转 $\alpha$ 度角，得到向量 $\mathbf b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))$。

![](./images/misc1.png)

由三角恒等变换得，

$$

\vec{b}=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha))

\mathbf{b}=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha))

$$

化简，

$$

\vec b=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha)

\mathbf b=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha)

$$

把上面的 $x,y$ 代回来得

$$

\vec b=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha)

\mathbf b=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha)

$$

即使不知道三角恒等变换，这个式子也很容易记下来。

与角 $\alpha$ 终边位置相同的角的集合很容易得出，为 $\{\theta\mid \theta=\alpha+2k\pi,k\in \mathbb{Z}\}$ 。

可以理解为：给这个角不停加一圈，终边位置不变。

可以理解为：给这个角的边不停加转一圈，终边位置不变。

### 极坐标与极坐标系