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我们用一幅图来表示复数与复平面的关系（图源百度百科）

![img](./images/fft1.jpg)

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其中横坐标是实数轴，纵坐标是虚数轴，这样就可以把每个虚数看为一个向量了，对应的，虚数可以用普通坐标和极坐标 $(r,\theta)$ （其中 $r$ 为虚数长度， $\theta$ 为虚数和实数轴正半轴夹角）来表示。

这里会不会觉得我们不去计算 $x^i$ 比较好呢？ $1$ 和 $-1$ 的幂都很好算，但是也仅仅有两个不够啊，我们至少需要 $n+1$ 个 那怎么办呢！想到我们刚刚学的长度为 $1$ 的虚数了吗？不管怎么乘长度都是 $1$ ！对就是它！我们需要的是 $\omega^k=1$ 中的 $\omega$ ，很容易想到 $-i$ 和 $1$ 是符合的。那其他的呢？

![img](./images/fft2.jpg)

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现在我们看上图的圆圈。容易发现这是一个单位圆（圆心为原点，半径为 $1$ ），所有在圆上的复数的长度均为 $1$ ，也就是说它不管做多少次方 $r$ 永远为 $1$ ，结果也仅仅角度的变化而已。但是！进过旋转总会让角度 $\bmod 360 = 0$ 成立的，也就是结果为 $1$ 。我们把符合以上条件的复数成为复根，用 $\omega$ 表示。如果 $\omega^k=1$ 那么我们把 $\omega$ 称为 $1$ 的 $k$ 次复根，记作 $\omega_k^n$ （因为符合这个 $k$ 次之后等于 $1$ 的复数有很多，比如 $i$ 的 $4k$ 次幂永远为 $1$ ，所以，这个 $n$ 是一个编号，表示这是角度从小到大的第几个（从 $x$ 的正半轴开始逆时针）)

是不是有点雾啊，没事没事接下来我们举个栗子：

![img](./images/fft3.jpg)

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那么很容易发现当 $K = 4$ 的时候，相当于把单位圆等分 $K= 4$ 份。然后每一份按照极角编号。那么是不是（在 $K = 4$ 的时候）我们只要知道 $\omega_4^1$

考虑将每个点做一个对于 $x$ 轴的垂线，设垂足为 $H_i(x_i,0)$ 。

![](./images/lagrange-poly-1.png)

![sample](../images/lagrange-poly-1.png)

如上图所示，黑线等于蓝线加绿线加红线。每次我们选择 $1$ 个 $P_i$ ，并选择其他的 $H_j[j\neq i]$ ，做一条过这些点的一条至多 $n-1$ 次的线。由于有 $n-2$ 个点都在 $x$ 轴上，我们知道这条线的解析式一定是形如 $g_i(x)=y_i\times (\prod_{i=1}^{n} (x-x_i)[i\neq x])$ 的形式。