Loading docs/ds/sparse-table.md +57 −28 Original line number Diff line number Diff line ## 简介 RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。 ST 表是用于解决 **可重复贡献问题** 的数据结构。 解决 RMQ 问题的主要方法有两种，分别是 ST 表和线段树。本文主要讲 ST 表。 ???+note "什么是可重复贡献问题？" **可重复贡献问题** 是指对于运算 $\operatorname{opt}$ ，满足 $x\operatorname{opt} x=x$ ，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。例如，最大值有 $\max(x,x)=x$ ，gcd 有 $\operatorname{gcd}(x,x)=x$ ，所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题。像区间和就不具有这个性质，如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了，则会导致重叠部分被计算两次，这是我们所不愿意看到的。另外， $\operatorname{opt}$ 还必须满足结合律才能使用 ST 表求解。 ???+note "什么是RMQ？" RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。解决 RMQ 问题有很多种方法，可以参考 [RMQ 专题](../topic/rmq.md) 。 ## 引入 [ST 表模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3865) 题目大意：给定 $n$ 个数，有 $m$ 个询问，对于每个询问，你需要回答区间 $[x,y]$ 中的最大值 题目大意：给定 $n$ 个数，有 $m$ 个询问，对于每个询问，你需要回答区间 $[l,r]$ 中的最大值。 考虑暴力做法。每次都对区间 $[x,y]$ 扫描一遍，求出最大值 考虑暴力做法。每次都对区间 $[l,r]$ 扫描一遍，求出最大值。 显然，这个算法会超时 显然，这个算法会超时。 ## ST 表 ST 表基于倍增思想，可以做到 $O(n\log n)$ 预处理， $O(1)$ 回答每个询问。但是不支持修改操作。 暴力跑的慢的原因在于检索了每一个点。 ST 表基于 [倍增](../basic/binary-acc.md) 思想，可以做到 $\Theta(n\log n)$ 预处理， $\Theta(1)$ 回答每个询问。但是不支持修改操作。 但是，如果我们预处理出每一段的最大值，就可以将效率提高很多。 基于倍增思想，我们考虑如何求出区间最大值。可以发现，如果按照一般的倍增流程，每次跳 $2^i$ 步的话，询问时的复杂度仍旧是 $\Theta(\log n)$ ，并没有比线段树更优，反而预处理一步还比线段树慢。 令 $f[i,j]$ 表示 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值。 我们发现 $\max(x,x)=x$ ，也就是说，区间最大值是一个具有“可重复贡献”性质的问题。即使用来求解的预处理区间有重叠部分，只要这些区间的并是所求的区间，最终计算出的答案就是正确的。 显然， $f[i,0]=a[i]$ 如果手动模拟一下，可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间，也就是说询问时的时间复杂度可以被降至 $\Theta(1)$ ，在处理有大量询问的题目时十分有效。 根据定义式，写出状态转移方程： $f[i,j]=\max(f[i,j-1],f[i+2^{j-1},j-1])$ 具体实现如下： 我们可以这么理解：将区间 $[i,i+2^j-1]$ 分成相同的两部分 令 $f(i,j)$ 表示区间 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值。 中点即为 $(i+(i+2^j-1))/2=i+2^{j-1}-1/2$ 显然 $f(i,0)=a_i$ 。 所以 $[i,i+2^j-1]$ 可以分成 $[i,i+2^{j-1}-1]$ 和 $[i+2^{j-1},i+2^j-1]$ 根据定义式，第二维就相当于倍增的时候“跳了 $2^j-1$ 步”，依据倍增的思路，写出状态转移方程： $f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))$ 。  预处理终于完成了！接下来就是查询了 对于每个询问 $[x,y]$ ，我们把它分成两部分 以上就是预处理部分。而对于查询，可以简单实现如下： $f[x,s]$ $f[y-2^s+1,s]$ 对于每个询问 $[l,r]$ ，我们把它分成两部分： $f[l,l+2^s-1]$ 与 $f[r-2^s+1,r]$ 。 其中 $s=\log_2{(y-x+1)}$ 其中 $s=\left\lfloor\log_2(r-l+1)\right\rfloor$ 。 显然，这两个区间会重叠。但是，重叠并不会对区间最大值产生影响。同时这两个区间刚好覆盖了 $[x,y]$ ，可以保证答案的正确性。 根据上面对于“可重复贡献问题”的论证，由于最大值是“可重复贡献问题”，重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖了 $[l,r]$ ，可以保证答案的正确性。 ## 模板代码 Loading Loading @@ -94,9 +94,9 @@ int main() { ## 注意点 1. 输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化 1. 输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化。 2. 每次用 [std::log](https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/log) 重新计算 log 函数值并不值得，建议如下预处理 2. 每次用 [std::log](https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/log) 重新计算 log 函数值并不值得，建议进行如下的预处理： $$ \left\{\begin{aligned} Loading @@ -105,18 +105,47 @@ Logn\left[i\right] &=Logn[\frac{i}{2}] + 1. \end{aligned}\right. $$ ## ST 表维护其他信息 除 RMQ 以外，还有其它的“可重复贡献问题”。例如“区间按位和”、“区间按位或”、“区间 GCD”，ST 表都能高效地解决。 需要注意的是，对于“区间 GCD”，ST 表的查询复杂度并没有比线段树更优（令值域为 $w$ ，ST 表的查询复杂度为 $\Theta(\log w)$ ，而线段树为 $\Theta(\log n+\log w)$ ，且值域一般是大于 $n$ 的），但是 ST 表的预处理复杂度也没有比线段树更劣，而编程复杂度方面 ST 表比线段树简单很多。 如果分析一下，“可重复贡献问题”一般都带有某种类似 RMQ 的成分。例如“区间按位与”就是每一位取最小值，而“区间 GCD”则是每一个质因数的指数取最小值。 ## 总结 ST 表能较好的维护区间信息，时间复杂度较低，代码量相对其他算法不大。但是，ST 表能维护的信息非常有限，不能较好地扩展，并且不支持修改操作。 ST 表能较好的维护“可重复贡献”的区间信息（同时也应满足结合律），时间复杂度较低，代码量相对其他算法很小。但是，ST 表能维护的信息非常有限，不能较好地扩展，并且不支持修改操作。 ## 练习 [RMQ 模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3865) [LCA 模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3379) [「SCOI2007」降雨量](https://loj.ac/problem/2279) [\[USACO07JAN\]平衡的阵容 Balanced Lineup](https://www.luogu.org/problem/P2880) ## 附录：ST 表求区间 GCD 的时间复杂度分析 在算法运行的时候，可能要经过 $\Theta(\log n)$ 次迭代。每一次迭代都可能会使用 GCD 函数进行递归，令值域为 $w$ ，GCD 函数的时间复杂度最高是 $\Omega(\log w)$ 的，所以总时间复杂度看似有 $O(n\log n\log w)$ 。 但是，在 GCD 的过程中，每一次递归（除最后一次递归之外）都会使数列中的某个数至少减半，而数列中的数最多减半的次数为 $\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)$ ，所以，GCD 的递归部分最多只会运行 $O(n\log w)$ 次。再加上循环部分（以及最后一层递归）的 $\Theta(n\log n)$ ，最终时间复杂度则是 $O(n(\log w+\log x))$ ，由于可以构造数据使得时间复杂度为 $\Omega(n(\log w+\log x))$ ，所以最终的时间复杂度即为 $\Theta(n(\log w+\log x))$ 。 而查询部分的时间复杂度很好分析，考虑最劣情况，即每次询问都询问最劣的一对数，时间复杂度为 $\Theta(\log w)$ 。因此，ST 表维护“区间 GCD”的时间复杂度为预处理 $\Theta(n(\log n+\log w))$ ，单次查询 $\Theta(\log w)$ 。 线段树的相应操作是预处理 $\Theta(n\log x)$ ，查询 $\Theta(n(\log n+\log x))$ 。 这并不是一个严谨的数学论证，更为严谨的附在下方： ??? note "更严谨的证明" 理解本段，可能需要具备 [时间复杂度](../misc/complexity.md) 的关于“势能分析法”的知识。 先分析预处理部分的时间复杂度： 设“待考虑数列”为在预处理 ST 表的时候当前层循环的数列。例如，第零层的数列就是原数列，第一层的数列就是第零层的数列经过一次迭代之后的数列，即 `st[1..n][1]` ，我们将其记为 $A$ 。 [严格次小生成树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4180) 而势能函数就定义为“待考虑数列”中所有数的累乘的以二为底的对数。即： $\Phi(A)=\log_2\left(\prod\limits_{i=1}^n A_i\right)$ 。 [货车运输](https://loj.ac/problem/2610) 在一次迭代中，所花费的时间相当于迭代循环所花费的时间与 GCD 所花费的时间之和。其中，GCD 花费的时间有长有短。最短可能只有两次甚至一次递归，而最长可能有 $O(\log w)$ 次递归。但是，GCD 过程中，除最开头一层与最末一层以外，每次递归都会使“待考虑数列”中的某个结果至少减半。即， $\Phi(A)$ 会减少至少 $1$ ，该层递归所用的时间可以被势能函数均摊。 [跑路](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1613) 同时，我们可以看到， $\Phi(A)$ 的初值最大为 $\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)$ ，而 $\Phi(A)$ 不增。所以，ST 表预处理部分的时间复杂度为 $O(n(\log w+\log n))$ 。 Loading
docs/ds/sparse-table.md +57 −28 Original line number Diff line number Diff line ## 简介 RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。 ST 表是用于解决 **可重复贡献问题** 的数据结构。 解决 RMQ 问题的主要方法有两种，分别是 ST 表和线段树。本文主要讲 ST 表。 ???+note "什么是可重复贡献问题？" **可重复贡献问题** 是指对于运算 $\operatorname{opt}$ ，满足 $x\operatorname{opt} x=x$ ，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。例如，最大值有 $\max(x,x)=x$ ，gcd 有 $\operatorname{gcd}(x,x)=x$ ，所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题。像区间和就不具有这个性质，如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了，则会导致重叠部分被计算两次，这是我们所不愿意看到的。另外， $\operatorname{opt}$ 还必须满足结合律才能使用 ST 表求解。 ???+note "什么是RMQ？" RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。解决 RMQ 问题有很多种方法，可以参考 [RMQ 专题](../topic/rmq.md) 。 ## 引入 [ST 表模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3865) 题目大意：给定 $n$ 个数，有 $m$ 个询问，对于每个询问，你需要回答区间 $[x,y]$ 中的最大值 题目大意：给定 $n$ 个数，有 $m$ 个询问，对于每个询问，你需要回答区间 $[l,r]$ 中的最大值。 考虑暴力做法。每次都对区间 $[x,y]$ 扫描一遍，求出最大值 考虑暴力做法。每次都对区间 $[l,r]$ 扫描一遍，求出最大值。 显然，这个算法会超时 显然，这个算法会超时。 ## ST 表 ST 表基于倍增思想，可以做到 $O(n\log n)$ 预处理， $O(1)$ 回答每个询问。但是不支持修改操作。 暴力跑的慢的原因在于检索了每一个点。 ST 表基于 [倍增](../basic/binary-acc.md) 思想，可以做到 $\Theta(n\log n)$ 预处理， $\Theta(1)$ 回答每个询问。但是不支持修改操作。 但是，如果我们预处理出每一段的最大值，就可以将效率提高很多。 基于倍增思想，我们考虑如何求出区间最大值。可以发现，如果按照一般的倍增流程，每次跳 $2^i$ 步的话，询问时的复杂度仍旧是 $\Theta(\log n)$ ，并没有比线段树更优，反而预处理一步还比线段树慢。 令 $f[i,j]$ 表示 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值。 我们发现 $\max(x,x)=x$ ，也就是说，区间最大值是一个具有“可重复贡献”性质的问题。即使用来求解的预处理区间有重叠部分，只要这些区间的并是所求的区间，最终计算出的答案就是正确的。 显然， $f[i,0]=a[i]$ 如果手动模拟一下，可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间，也就是说询问时的时间复杂度可以被降至 $\Theta(1)$ ，在处理有大量询问的题目时十分有效。 根据定义式，写出状态转移方程： $f[i,j]=\max(f[i,j-1],f[i+2^{j-1},j-1])$ 具体实现如下： 我们可以这么理解：将区间 $[i,i+2^j-1]$ 分成相同的两部分 令 $f(i,j)$ 表示区间 $[i,i+2^j-1]$ 的最大值。 中点即为 $(i+(i+2^j-1))/2=i+2^{j-1}-1/2$ 显然 $f(i,0)=a_i$ 。 所以 $[i,i+2^j-1]$ 可以分成 $[i,i+2^{j-1}-1]$ 和 $[i+2^{j-1},i+2^j-1]$ 根据定义式，第二维就相当于倍增的时候“跳了 $2^j-1$ 步”，依据倍增的思路，写出状态转移方程： $f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))$ 。  预处理终于完成了！接下来就是查询了 对于每个询问 $[x,y]$ ，我们把它分成两部分 以上就是预处理部分。而对于查询，可以简单实现如下： $f[x,s]$ $f[y-2^s+1,s]$ 对于每个询问 $[l,r]$ ，我们把它分成两部分： $f[l,l+2^s-1]$ 与 $f[r-2^s+1,r]$ 。 其中 $s=\log_2{(y-x+1)}$ 其中 $s=\left\lfloor\log_2(r-l+1)\right\rfloor$ 。 显然，这两个区间会重叠。但是，重叠并不会对区间最大值产生影响。同时这两个区间刚好覆盖了 $[x,y]$ ，可以保证答案的正确性。 根据上面对于“可重复贡献问题”的论证，由于最大值是“可重复贡献问题”，重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖了 $[l,r]$ ，可以保证答案的正确性。 ## 模板代码 Loading Loading @@ -94,9 +94,9 @@ int main() { ## 注意点 1. 输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化 1. 输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化。 2. 每次用 [std::log](https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/log) 重新计算 log 函数值并不值得，建议如下预处理 2. 每次用 [std::log](https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/log) 重新计算 log 函数值并不值得，建议进行如下的预处理： $$ \left\{\begin{aligned} Loading @@ -105,18 +105,47 @@ Logn\left[i\right] &=Logn[\frac{i}{2}] + 1. \end{aligned}\right. $$ ## ST 表维护其他信息 除 RMQ 以外，还有其它的“可重复贡献问题”。例如“区间按位和”、“区间按位或”、“区间 GCD”，ST 表都能高效地解决。 需要注意的是，对于“区间 GCD”，ST 表的查询复杂度并没有比线段树更优（令值域为 $w$ ，ST 表的查询复杂度为 $\Theta(\log w)$ ，而线段树为 $\Theta(\log n+\log w)$ ，且值域一般是大于 $n$ 的），但是 ST 表的预处理复杂度也没有比线段树更劣，而编程复杂度方面 ST 表比线段树简单很多。 如果分析一下，“可重复贡献问题”一般都带有某种类似 RMQ 的成分。例如“区间按位与”就是每一位取最小值，而“区间 GCD”则是每一个质因数的指数取最小值。 ## 总结 ST 表能较好的维护区间信息，时间复杂度较低，代码量相对其他算法不大。但是，ST 表能维护的信息非常有限，不能较好地扩展，并且不支持修改操作。 ST 表能较好的维护“可重复贡献”的区间信息（同时也应满足结合律），时间复杂度较低，代码量相对其他算法很小。但是，ST 表能维护的信息非常有限，不能较好地扩展，并且不支持修改操作。 ## 练习 [RMQ 模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3865) [LCA 模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3379) [「SCOI2007」降雨量](https://loj.ac/problem/2279) [\[USACO07JAN\]平衡的阵容 Balanced Lineup](https://www.luogu.org/problem/P2880) ## 附录：ST 表求区间 GCD 的时间复杂度分析 在算法运行的时候，可能要经过 $\Theta(\log n)$ 次迭代。每一次迭代都可能会使用 GCD 函数进行递归，令值域为 $w$ ，GCD 函数的时间复杂度最高是 $\Omega(\log w)$ 的，所以总时间复杂度看似有 $O(n\log n\log w)$ 。 但是，在 GCD 的过程中，每一次递归（除最后一次递归之外）都会使数列中的某个数至少减半，而数列中的数最多减半的次数为 $\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)$ ，所以，GCD 的递归部分最多只会运行 $O(n\log w)$ 次。再加上循环部分（以及最后一层递归）的 $\Theta(n\log n)$ ，最终时间复杂度则是 $O(n(\log w+\log x))$ ，由于可以构造数据使得时间复杂度为 $\Omega(n(\log w+\log x))$ ，所以最终的时间复杂度即为 $\Theta(n(\log w+\log x))$ 。 而查询部分的时间复杂度很好分析，考虑最劣情况，即每次询问都询问最劣的一对数，时间复杂度为 $\Theta(\log w)$ 。因此，ST 表维护“区间 GCD”的时间复杂度为预处理 $\Theta(n(\log n+\log w))$ ，单次查询 $\Theta(\log w)$ 。 线段树的相应操作是预处理 $\Theta(n\log x)$ ，查询 $\Theta(n(\log n+\log x))$ 。 这并不是一个严谨的数学论证，更为严谨的附在下方： ??? note "更严谨的证明" 理解本段，可能需要具备 [时间复杂度](../misc/complexity.md) 的关于“势能分析法”的知识。 先分析预处理部分的时间复杂度： 设“待考虑数列”为在预处理 ST 表的时候当前层循环的数列。例如，第零层的数列就是原数列，第一层的数列就是第零层的数列经过一次迭代之后的数列，即 `st[1..n][1]` ，我们将其记为 $A$ 。 [严格次小生成树](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4180) 而势能函数就定义为“待考虑数列”中所有数的累乘的以二为底的对数。即： $\Phi(A)=\log_2\left(\prod\limits_{i=1}^n A_i\right)$ 。 [货车运输](https://loj.ac/problem/2610) 在一次迭代中，所花费的时间相当于迭代循环所花费的时间与 GCD 所花费的时间之和。其中，GCD 花费的时间有长有短。最短可能只有两次甚至一次递归，而最长可能有 $O(\log w)$ 次递归。但是，GCD 过程中，除最开头一层与最末一层以外，每次递归都会使“待考虑数列”中的某个结果至少减半。即， $\Phi(A)$ 会减少至少 $1$ ，该层递归所用的时间可以被势能函数均摊。 [跑路](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1613) 同时，我们可以看到， $\Phi(A)$ 的初值最大为 $\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)$ ，而 $\Phi(A)$ 不增。所以，ST 表预处理部分的时间复杂度为 $O(n(\log w+\log n))$ 。
