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 **定理 1** ：方程 $ax+by=c$ 与方程 $ax \equiv c \pmod b$ 是等价的，有整数解的充要条件为 $\gcd(a,b) \mid c$ 。

根据定理 1，方程 $ax+by=c$ ，我们可以先用扩展欧几里得算法求出一组 $x_0,y_0$ ，也就是 $ax_0+by_0=\gcd(a,b)$ ，然后两边同时除以 $\gcd(a,b)$ ，再乘 $c$ 。然后就得到了方程 $acx_0/\gcd(a,b)+bcy_0/\gcd(a,b)=c$ ，然后我们就找到了方程的一个解。

根据定理 1，方程 $ax+by=c$ ，我们可以先用扩展欧几里得算法求出一组 $x_0,y_0$ ，也就是 $ax_0+by_0=\gcd(a,b)$ ，然后两边同时除以 $\gcd(a,b)$ ，再乘 $c$ 。然后就得到了方程 $a\dfrac{c}{\gcd(a,b)}x_0+b\dfrac{c}{\gcd(a,b)}y_0=c$ ，然后我们就找到了方程的一个解。

 **定理 2** ：若 $\gcd(a,b)=1$ ，且 $x_0,y_0$ 为方程 $ax+by=c$ 的一组解，则该方程的任意解可表示为： $x=x_0+bt,y=y_0-at$ , 且对任意整数 $t$ 都成立。

 **定理 2** ：若 $\gcd(a,b)=1$ ，且 $x_0$ 、 $y_0$ 为方程 $ax+by=c$ 的一组解，则该方程的任意解可表示为： $x=x_0+bt$ ， $y=y_0-at$ , 且对任意整数 $t$ 都成立。

根据定理 2，可以求出方程的所有解。但在实际问题中，我们往往被要求求出一个最小整数解，也就是一个特解 $x,t=b/\gcd(a,b),x=(x \bmod t+t) \bmod t$ 。

根据定理 2，可以求出方程的所有解。但在实际问题中，我们往往被要求求出一个最小整数解，也就是一个特解 $x=(x \bmod t+t) \bmod t$ ，其中 $t=\dfrac{b}{\gcd(a,b)}$ 。

???+note "代码实现"

    ```cpp

    int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {

      if (b == 0) {