Loading docs/graph/scc.md +14 −14 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -37,22 +37,22 @@ Tarjan 发明了很多算法结构。光 Tarjan 算法就有很多，比如求 我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。 如果结点 u 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 u 为根的子树中。u 被称为这个强连通分量的根。 如果结点 $u$ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $u$ 为根的子树中。$u$ 被称为这个强连通分量的根。 反证法：假设有个结点 v 在该强连通分量中但是不在以 u 为根的子树中，那么 u 到 v 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 u 是第一个访问的结点矛盾了。得证。 反证法：假设有个结点 $v$ 在该强连通分量中但是不在以 $u$ 为根的子树中，那么 $u$ 到 $v$ 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 $u$ 是第一个访问的结点矛盾了。得证。 ### Tarjan 算法求强连通分量 在 Tarjan 算法中为每个结点 u 维护了以下几个变量： 1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 u 被搜索的次序。 2\. $low[u]$ ：设以 u 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $low[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。 在 Tarjan 算法中为每个结点 $u$ 维护了以下几个变量： 1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 $u$ 被搜索的次序。 2\. $LOW[u]$ ：设以 $u$ 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $LOW[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。 显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $low[u]$ 是单调递增的。 显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $LOW[u]$ 是单调递增的。 按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进行搜索。在搜索过程中，对于结点 $u$ 和与其相邻的结点 $v$ （v不是u的父节点）考虑 3 种情况： 1. $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $low[v]$ 更新 $low[u]$ 。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点， $u$ 也一定能够回溯到。 2. $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $low$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $low[u]$ . 1. $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $LOW[v]$ 更新 $LOW[u]$ 。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点， $u$ 也一定能够回溯到。 2. $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $LOW$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $LOW[u]$ . 3. $v$ 被访问过，已不在在栈中：说明 $v$ 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。 将上述算法写成伪代码： Loading @@ -68,9 +68,9 @@ Tarjan 发明了很多算法结构。光 Tarjan 算法就有很多，比如求 else if v has been in the stack then low[u]=min(low[u],dfn[v]) 对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=low[u]$ 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 $low$ 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。 对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=LOW[u]$ 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 LOW 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。 因此，在回溯的过程中，判定 $DFN[u]=low[u]$ 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 $u$ 后面的结点构成一个 SCC。 因此，在回溯的过程中，判定 $DFN[u]=LOW[u]$ 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 $u$ 后面的结点构成一个 SCC。 ### 实现 Loading Loading @@ -99,13 +99,13 @@ void tarjan(int u) { ## Kosaraju 算法 Kosaraju 算法依靠两次简单的 dfs 实现。 Kosaraju 算法依靠两次简单的 DFS 实现。 第一次 dfs，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第二次 dfs，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 dfs。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 两次 dfs 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ 两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ ### 实现 Loading Loading
docs/graph/scc.md +14 −14 Original line number Diff line number Diff line Loading @@ -37,22 +37,22 @@ Tarjan 发明了很多算法结构。光 Tarjan 算法就有很多，比如求 我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。 如果结点 u 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 u 为根的子树中。u 被称为这个强连通分量的根。 如果结点 $u$ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $u$ 为根的子树中。$u$ 被称为这个强连通分量的根。 反证法：假设有个结点 v 在该强连通分量中但是不在以 u 为根的子树中，那么 u 到 v 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 u 是第一个访问的结点矛盾了。得证。 反证法：假设有个结点 $v$ 在该强连通分量中但是不在以 $u$ 为根的子树中，那么 $u$ 到 $v$ 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 $u$ 是第一个访问的结点矛盾了。得证。 ### Tarjan 算法求强连通分量 在 Tarjan 算法中为每个结点 u 维护了以下几个变量： 1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 u 被搜索的次序。 2\. $low[u]$ ：设以 u 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $low[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。 在 Tarjan 算法中为每个结点 $u$ 维护了以下几个变量： 1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 $u$ 被搜索的次序。 2\. $LOW[u]$ ：设以 $u$ 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $LOW[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。 显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $low[u]$ 是单调递增的。 显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $LOW[u]$ 是单调递增的。 按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进行搜索。在搜索过程中，对于结点 $u$ 和与其相邻的结点 $v$ （v不是u的父节点）考虑 3 种情况： 1. $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $low[v]$ 更新 $low[u]$ 。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点， $u$ 也一定能够回溯到。 2. $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $low$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $low[u]$ . 1. $v$ 未被访问：继续对 $v$ 进行深度搜索。在回溯过程中，用 $LOW[v]$ 更新 $LOW[u]$ 。因为存在从 $u$ 到 $v$ 的直接路径，所以 $v$ 能够回溯到的已经在栈中的结点， $u$ 也一定能够回溯到。 2. $v$ 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 $LOW$ 值的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 $DFN[v]$ 更新 $LOW[u]$ . 3. $v$ 被访问过，已不在在栈中：说明 $v$ 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。 将上述算法写成伪代码： Loading @@ -68,9 +68,9 @@ Tarjan 发明了很多算法结构。光 Tarjan 算法就有很多，比如求 else if v has been in the stack then low[u]=min(low[u],dfn[v]) 对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=low[u]$ 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 $low$ 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。 对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=LOW[u]$ 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 LOW 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。 因此，在回溯的过程中，判定 $DFN[u]=low[u]$ 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 $u$ 后面的结点构成一个 SCC。 因此，在回溯的过程中，判定 $DFN[u]=LOW[u]$ 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 $u$ 后面的结点构成一个 SCC。 ### 实现 Loading Loading @@ -99,13 +99,13 @@ void tarjan(int u) { ## Kosaraju 算法 Kosaraju 算法依靠两次简单的 dfs 实现。 Kosaraju 算法依靠两次简单的 DFS 实现。 第一次 dfs，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有为访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。 第二次 dfs，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 dfs。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。 两次 dfs 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ 两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$ ### 实现 Loading
