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## 2. 线性规划的一般形式

在约束条件下，寻找目标函数 $$z$$ 的最大值：

在约束条件下，寻找目标函数 $z$ 的最大值：

$$

max \ z = x_1 + x_2

\max \ z = x_1 + x_2

$$

$$

![kexingyu](./images/kexingyu.jpg)

<center>图1 可行域</center>

## 4. 线性规划的标准形式

在说明单纯形法的原理之前，需要明白线性规划的标准形式。因为单纯形算法是通过线性规划的标准形来求解的。一般，规定线性规划的标准形式为：

$$

max \ z = \sum_{j = 1}^{n}c_jx_j

\max \ z = \sum_{j = 1}^{n}c_jx_j

$$

$$

$$

写成矩阵形式：

$$

max \ z = CX

\max \ z = CX

$$

$$

### 5.1 几何意义

在标准形中，有 $m$ 个约束条件（不包括非负约束），$n$ 个决策变量，且 $$n \geq m$$。首先选取 $m$ 个基变量$$x_j^{'}(j = 1, 2, \ldots, m )$$，基变量对应约束系数矩阵的列向量线性无关。通过矩阵的线性变换，基变量可由非基变量表示：

在标准形中，有 $m$ 个约束条件（不包括非负约束），$n$ 个决策变量，且 $n \geq m$。首先选取 $m$ 个基变量 $x_j^{'}(j = 1, 2, \ldots, m )$，基变量对应约束系数矩阵的列向量线性无关。通过矩阵的线性变换，基变量可由非基变量表示：

$$

x_i^{'} = C_i + \sum_{j = m + 1}^{n}m_{ij}x_j^{'}(i = 1, 2, \ldots , m)

$$

如果令非基变量等于$0$，可求得基变量的值 ：

$$

x_i^{'} = C_i

$$

如果为可行解的话，$C_i$ 大于 $0$ 。那么它的几何意义是什么呢？

还是通过上述具体的线性规划问题来说明：

$$

max \ z = x_1 + x_2

$$

$$

如果选择 $x_2$ 、$x_3$ 为基变量，那么令 $x_1$、$x_4$ 等于 $0$ ，可以去求解基变量 $x_2$ 、$x_3$ 的值。对系数矩阵做行变换，如下所示，$x_2=9/2$ ，$x_3=15/2$。

$$

\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{X}} & {x_{1}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} & {b} \\ {} & {2} & {1} & {1} & {0} & {12} \\ {} & {1} & {2} & {0} & {1} & {9} \\ {\mathrm{C}} & {1} & {1} & {0} & {0} & {z}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{X}} & {x_{1}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} & {b} \\ {} & {\frac{3}{2}} & {0} & {1} & {-\frac{1}{2}} & {\frac{15}{2}} \\ {} & {\frac{1}{2}} & {1} & {0} & {\frac{1}{2}} & {\frac{9}{2}} \\ {\mathrm{C}} & {\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {z-\frac{9}{2}}\end{array}\right]

$$

$X_1=0$ 表示可行解在 $x$ 轴上；$X_4=0$ 表示可行解在 $x_1+2x_2=9$ 的直线上。那么，求得的可行解即表示这两条直线的交点，也是可行域的顶点，如图所示：

![kexingyu_point](./images/kexingyu_point.jpg)

<center>图2</center>

所以，通过选择不同的基变量，可以获得不同的可行域的顶点。

### 5.2 如何判断最优

如前所述，基变量可由非基变量表示：

$$

x_i^{'} = C_i + \sum_{j = m + 1}^{n}m_{ij}x_j^{'}(i = 1, 2, \ldots , m) 

$$

目标函数 $z$ 也可以完全由非基变量表示：

$$

z = z_0 + \sum_{j = m + 1}^{n} \sigma_j x_j^{'}

$$

当达到最优解时，所有的 $\sigma_j$ 应小于等于 $0$，当存在 $j$，$\sigma_j > 0$ 时，当前解不是最优解，为什么？

当前的目标函数值为 $z_0$ ，其中所有的非基变量值均取 $0$。由之前分析可知，$x_j^{'} = 0$ 代表可行域的某个边界，是 $x_j^{'}$ 的最小值。如果可行解逐步离开这个边界，$x_j^{'}$ 会变大，因为 $\sigma_j > 0$，显然目标函数的取值也会变大，所以当前解不是最优解。我们需要寻找新的基变量。

假如我们选择非基变量 $x_s^{'}$ 作为下一轮的基变量，那么被替换基变量 $x_j^{'}$ 在下一轮中作为非基变量，等于 $0$。选择 $x_j^{'}$ 的原则：替换后应该尽量使 $x_s^{'}$ 值最大（因为上面已分析过，目标函数会随着 $x_s^{'}$ 的增大而增大）。

继续通过上面的例子来说明：

$$

\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{X}} & {x_{1}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} & {b} \\ {} & {2} & {1} & {1} & {0} & {12} \\ {} & {1} & {2} & {0} & {1} & {9} \\ {\mathrm{C}} & {1} & {1} & {0} & {0} & {z}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{X}} & {x_{1}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} & {b} \\ {} & {\frac{3}{2}} & {0} & {1} & {-\frac{1}{2}} & {\frac{15}{2}} \\ {} & {\frac{1}{2}} & {1} & {0} & {\frac{1}{2}} & {\frac{9}{2}} \\ {\mathrm{C}} & {\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {z-\frac{9}{2}}\end{array}\right]

$$

从最后一行可以看到，$x_1$的系数为 $1/2>0$ ，所以选 $x_2$、$x_3$ 为基变量并没有是目标函数达到最优。下一轮选取 $x_1$ 作为基变量，替换 $x_2$、$x_3$ 中的某个变量。

第一行是符号

算法和使用单纯性表求解线性规划相同。

对于线性规划问题：

$$

max \ x_1 + 14x_2 + 6x_3

\max \ x_1 + 14x_2 + 6x_3

$$

$$

我们可以得到其松弛形式：

$$

max \ x_1 + 14x_2 + 6x_3

\max \ x_1 + 14x_2 + 6x_3

$$

$$

$n$ 个变量，$m+n$ 个约束，构造 $m * n$ 的矩阵 $A$，$m$ 维向量 $b$，$n$ 维向量 $c$

最大化 $C^Tx$ 满足如下约束条件：

$$

Ax \leq b

$$

也就是说，约束条件只用 $m$ 个，尽管 $B$ 和 $N$ 不断交换，但同一时间还是只有 $m$ 个约束(基本变量)，$n$ 个非基变量，注意改写成松弛型后 $a$ 矩阵实际系数为负。（一个优化 $a[i][e]$为 $0$ 的约束没必要带入了。

$simplex$ 是主过程，基本思想是找到一个 $c[e]>0$ 的，然后找对这个 $e$ 限制最紧的 $l$ ，转动这组 $l,e$，注意精度控制 $eps$，$c[e]>eps$， 还有找 $l$ 的时候 $a[i][e]>eps$ 才行。

`simplex` 是主过程，基本思想是找到一个 $c[e]>0$ 的，然后找对这个 $e$ 限制最紧的 $l$ ，转动这组 $l,e$，注意精度控制 $eps$，$c[e]>eps$， 还有找 $l$ 的时候 $a[i][e]>eps$ 才行。

??? note " 例题 [BZOJ1061 志愿者招募](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1061)"

    题目大意：长度为 $n$ 的序列，第 $i$ 位至少 $b_i$，$m$ 种区间使 $[l_i,r_i] + 1$ 代价为 $a_i$。

对偶问题 $n$ 个变量，$m$ 个约束

$$

Max \ \sum_{i=1}nb_iy_i

\max \ \sum_{i=1}nb_iy_i

$$

$$

最大化与最小化互换，常数与目标函数互换，改变不等号，变量与约束对应。

$$

Max \ c^T: Ax \leq b, x \geq 0

\max \ c^T: Ax \leq b, x \geq 0

$$

$$

Min \ b^Ty: A^Ty \geq c, t \geq 0

\min \ b^Ty: A^Ty \geq c, t \geq 0

$$

$d_{uv}$ 表示 $u,v$ 是否匹配

$$

Max \ \sum_{(u,v) \in E}c_{uv}d_{uv}

\max \ \sum_{(u,v) \in E}c_{uv}d_{uv}

$$

$$

令 $p_u,p_v$ 为两类约束对偶之后的变量

$$

Min \ \sum_{u \in x} p_u + \sum_{v \in Y} p_v

\min \ \sum_{u \in x} p_u + \sum_{v \in Y} p_v

$$

$$