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### 排列与连续段

**排列**：定义一个 n 阶排列 P 是一个大小为 n 的序列，使得 $P_i$ 取遍 $1,2,\cdots,n$。说得形式化一点，n 阶排列 P 是一个有序集合满足：

**排列**：定义一个 $n$ 阶排列 $P$ 是一个大小为 $n$ 的序列，使得 $P_i$ 取遍 $1,2,\cdots,n$。说得形式化一点，$n$ 阶排列 $P$ 是一个有序集合满足：

1.  $|P|=n$.

2.  $\forall i,P_i\in[1,n]$.

3.  $\nexists i,j\in[1,n],P_i=P_j$. 

**连续段**：对于排列 P，定义连续段 $(P,[l,r])$ 表示一个区间 $[l,r]$，要求 $P_{l\sim r}$ 值域是连续的。说得更形式化一点，对于排列 P，连续段表示一个区间 $[l,r]$ 满足：

**连续段**：对于排列 $P$，定义连续段 $(P,[l,r])$ 表示一个区间 $[l,r]$，要求 $P_{l\sim r}$ 值域是连续的。说得更形式化一点，对于排列 $P$，连续段表示一个区间 $[l,r]$ 满足：

$$

(\nexists\ x,z\in[l,r],y\notin[l,r],\ P_x<P_y<P_z)

特别地，当 $l>r$ 时，我们认为这是一个空的连续段，记作 $(P,\varnothing)$。

我们称排列 P 的所有连续段的集合为 $I_P$，并且我们认为 $(P,\varnothing)\in I_P$。

我们称排列 $P$ 的所有连续段的集合为 $I_P$，并且我们认为 $(P,\varnothing)\in I_P$。

### 连续段的运算

其实这个定义全称叫作**本原连续段**。但笔者认为本原段更为简洁。

对于排列 P，我们认为一个本原段 $M$ 表示在集合 $I_P$ 中，不存在与之相交且不包含的连续段。形式化地定义，我们认为 $X\in I_P$ 且满足 $\forall A\in I_P,\ X\cap A= (P,\varnothing)\vee X\subseteq A\vee A\subseteq X$。

对于排列 $P$，我们认为一个本原段 $M$ 表示在集合 $I_P$ 中，不存在与之相交且不包含的连续段。形式化地定义，我们认为 $X\in I_P$ 且满足 $\forall A\in I_P,\ X\cap A= (P,\varnothing)\vee X\subseteq A\vee A\subseteq X$。

所有本原段的集合为 $M_P$. 显而易见，$(P,\varnothing)\in M_P$。

显然，本原段之间只有相离或者包含关系。并且你发现**一个连续段可以由几个互不相交的本原段构成**。最大的本原段就是整个排列本身，它包含了其他所有本原段，因此我们认为本原段可以构成一个树形结构，我们称这个结构为**析合树**。更严格地说，排列 P 的析合树由排列 P 的**所有本原段**组成。

显然，本原段之间只有相离或者包含关系。并且你发现**一个连续段可以由几个互不相交的本原段构成**。最大的本原段就是整个排列本身，它包含了其他所有本原段，因此我们认为本原段可以构成一个树形结构，我们称这个结构为**析合树**。更严格地说，排列 $P$ 的析合树由排列 $P$ 的**所有本原段**组成。

前面干讲这么多的定义，不来点图怎么行。考虑排列 $P=\{9,1,10,3,2,5,7,6,8,4\}$. 它的本原段构成的析合树如下：

这里我们直接给出定义，稍候再来讨论它的正确性。

1. **值域区间**：对于一个结点 u，用 $[u_l,u_r]$ 表示该结点的值域区间。

2. **儿子序列**：对于析合树上的一个结点 u，假设它的儿子结点是一个**有序**序列，该序列是以值域区间为元素的（单个的数 x 可以理解为 $[x,x]$ 的区间）。我们把这个序列称为儿子序列。记作 $S_u$。

3. **儿子排列**：对于一个儿子序列 $S_u$，把它的元素离散化成正整数后形成的排列称为儿子排列。举个例子，对于结点 $[5,8]$，它的儿子序列为 $\{[5,5],[6,7],[8,8]\}$，那么把区间排序标个号，则它的儿子排列就为 $\{1,2,3\}$；类似的，结点 $[4,8]$ 的儿子排列为 $\{2,1\}$。结点 u 的儿子排列记为 $P_u$。

1. **值域区间**：对于一个结点 $u$，用 $[u_l,u_r]$ 表示该结点的值域区间。

2. **儿子序列**：对于析合树上的一个结点 $u$，假设它的儿子结点是一个**有序**序列，该序列是以值域区间为元素的（单个的数 $x$ 可以理解为 $[x,x]$ 的区间）。我们把这个序列称为儿子序列。记作 $S_u$。

3. **儿子排列**：对于一个儿子序列 $S_u$，把它的元素离散化成正整数后形成的排列称为儿子排列。举个例子，对于结点 $[5,8]$，它的儿子序列为 $\{[5,5],[6,7],[8,8]\}$，那么把区间排序标个号，则它的儿子排列就为 $\{1,2,3\}$；类似的，结点 $[4,8]$ 的儿子排列为 $\{2,1\}$。结点 $u$ 的儿子排列记为 $P_u$。

4. **合点**：我们认为，儿子排列为顺序或者逆序的点为合点。形式化地说，满足 $P_u=\{1,2,\cdots,|S_u|\}$ 或者 $P_u=\{|S_u|,|S_u-1|,\cdots,1\}$ 的点称为合点。**叶子结点没有儿子排列，我们也认为它是合点**。

5. **析点**：不是合点的就是析点。

### 析点与合点的性质

析点与合点的命名来源于他们的性质。首先我们有一个非常显然的性质：对于析合树中任何的结点 u，其儿子序列区间的并集就是结点 u 的值域区间。即 $\bigcup_{i=1}^{|S_u|}S_u[i]=[u_l,u_r]$。

析点与合点的命名来源于他们的性质。首先我们有一个非常显然的性质：对于析合树中任何的结点 $u$，其儿子序列区间的并集就是结点 $u$ 的值域区间。即 $\bigcup_{i=1}^{|S_u|}S_u[i]=[u_l,u_r]$。

对于一个合点 u：其儿子序列的任意**子区间**都构成一个**连续段**。形式化地说，对于 $S_u[l\sim r]$，有 $\bigcup_{i=l}^rS_u[i]\in I_P$。

对于一个合点 $u$：其儿子序列的任意**子区间**都构成一个**连续段**。形式化地说，对于 $S_u[l\sim r]$，有 $\bigcup_{i=l}^rS_u[i]\in I_P$。

对于一个析点 u：其儿子序列的任意**长度大于 1（这里的长度是指儿子序列中的元素数，不是下标区间的长度）**的子区间都**不**构成一个**连续段**。形式化地说，对于 $S_u[l\sim r]$，有 $\bigcup_{i=l}^rS_u[i]\in I_P$。

对于一个析点 $u$：其儿子序列的任意**长度大于 1（这里的长度是指儿子序列中的元素数，不是下标区间的长度）**的子区间都**不**构成一个**连续段**。形式化地说，对于 $S_u[l\sim r]$，有 $\bigcup_{i=l}^rS_u[i]\in I_P$。

合点的性质不难~~口糊~~证明。因为合点的儿子排列要么是顺序，要么是倒序，而值域区间也是首位相接，因此只要是连续的一段子序列（区间）都是一个连续段。

对于析点的性质可能很多读者就不太能理解了：为什么**任意**长度大于 1 的子区间都不构成连续段？

对于析点的性质可能很多读者就不太能理解了：为什么**任意**长度大于 $1$ 的子区间都不构成连续段？

使用反证法。假设对于一个点 u，它的儿子序列中有一个**最长的**区间 $S_u[l\sim r]$ 构成了连续段。那么这个 $A=\bigcup_{i=l}^rS_u[i]\in I_P$，也就意味着 $A$ 是一个本原段！（因为 A 是儿子序列中最长的，因此找不到一个与它相交又不包含的连续段）于是你就没有使用所有的本原段构成这个析合树。矛盾。

使用反证法。假设对于一个点 $u$，它的儿子序列中有一个**最长的**区间 $S_u[l\sim r]$ 构成了连续段。那么这个 $A=\bigcup_{i=l}^rS_u[i]\in I_P$，也就意味着 $A$ 是一个本原段！（因为 $A$ 是儿子序列中最长的，因此找不到一个与它相交又不包含的连续段）于是你就没有使用所有的本原段构成这个析合树。矛盾。

### 析合树的构造

于是我们就维护 $\max_{l\le i\le r}P_i-\min_{l\le i\le r}P_i-(r-l)$，那么要找到一个连续段相当于查询一个最小值！

有了上述思路，不难想到这样的算法。对于增量过程中的当前的 i，我们维护一个数组 $Q$ 表示区间 $[j,i]$ 的极差减长度。即

有了上述思路，不难想到这样的算法。对于增量过程中的当前的 $i$，我们维护一个数组 $Q$ 表示区间 $[j,i]$ 的极差减长度。即

$$

Q_j=\max_{j\le k\le i}P_k-\min_{j\le k\le i}P_k-(i-j),\ \ 0<j<i

$$

现在我们想知道在 $1\sim i-1$ 中是否存在一个最小的 $j$ 使得 $Q_j=0$。这等价于求 $Q_{1\sim i-1}$ 的最小值。求得最小的 j 就是 $L_i$。如果没有，那么 $L_i=i$。

现在我们想知道在 $1\sim i-1$ 中是否存在一个最小的 $j$ 使得 $Q_j=0$。这等价于求 $Q_{1\sim i-1}$ 的最小值。求得最小的 $j$ 就是 $L_i$。如果没有，那么 $L_i=i$。

但是当第 i 次增量结束时，我们需要快速把 $Q$ 数组更新到 i+1 的情况。原本的区间从 $[j,i]$ 变成 $[j,i+1]$，如果 $P_{i+1}>\max$ 或者 $P_{i+1}<\min$ 都会造成 $Q_j$ 发生变化。如何变化？如果 $P_{i+1}>\max$，相当于我们把 $Q_j$ 先减掉 $\max$ 再加上 $P_{i+1}$ 就完成了 $Q_j$ 的更新；$P_{i+1}<\min$ 同理，相当于 $Q_j=Q_j+\min-P_{i+1}$. 

但是当第 $i$ 次增量结束时，我们需要快速把 $Q$ 数组更新到 i+1 的情况。原本的区间从 $[j,i]$ 变成 $[j,i+1]$，如果 $P_{i+1}>\max$ 或者 $P_{i+1}<\min$ 都会造成 $Q_j$ 发生变化。如何变化？如果 $P_{i+1}>\max$，相当于我们把 $Q_j$ 先减掉 $\max$ 再加上 $P_{i+1}$ 就完成了 $Q_j$ 的更新；$P_{i+1}<\min$ 同理，相当于 $Q_j=Q_j+\min-P_{i+1}$. 

那么如果对于一个区间 $[x,y]$，满足 $P_{x\sim i},P_{x+1\sim i},P_{x+2\sim i},\cdots,P_{y\sim i}$ 的区间 $\max$ 都相同呢？你已经发现了，那么相当于我们在做一个区间加的操作；同理，当 $P_{x\sim i},P_{x+1\sim i},\cdots,P_{y\sim i}$ 的区间 $\min$ 都想同时也是一个区间加的操作。同时，$\max$ 和 $\min$ 的更新是相互独立的， 因此可以各自更新。

1. 找到最大的 $j$ 使得 $P_{j}>P_{i+1}$，那么显然，$P_{j+1\sim i}$ 这一段数全部小于 $P_{i+1}$，于是就需要更新 $Q_{j+1\sim i}$ 的最大值。由于 $P_{i},\max(P_i,P_{i-1}),\max(P_i,P_{i-1},P_{i-2}),\cdots,\max(P_i,P_{i-1},\cdots,P_{j+1})$ 是（非严格）单调递增的，因此可以每一段相同的 $\max$ 做相同的更新，即区间加操作。

2. 更新 $\min$ 同理。

3. 把每一个 $Q_j$ 都减 1。因为区间长度加 1。

3. 把每一个 $Q_j$ 都减 $1$。因为区间长度加 $1$。

4. 查询 $L_i$：即查询 $Q$ 的最小值的所在的**下标**。

没错，我们可以使用线段树维护 $Q$！现在还有一个问题：怎么找到相同的一段使得他们的 $\max/\min$ 都相同？使用单调栈维护！维护两个单调栈分别表示 $\max/\min$。那么显然，栈中以相邻两个元素为端点的区间的 $\max/\min$ 是相同的，于是在维护单调栈的时侯顺便更新线段树即可。