添加KMP自动机和确定有限状态自动机的拓展

~~希望~~大家看懂了文章。其实总结一下，你只需要知道 AC 自动机的板子很好背就行啦。

时间复杂度：AC 自动机的时间复杂度在需要找到所有匹配位置时是 $O(|s|+m)$ ，其中 $|s|$ 表示文本串的长度， $m$ 表示模板串的总匹配次数；而只需要求是否匹配时时间复杂度为 $O(|s|)$ 。

???+ note "模板 1"

    [LuoguP3808【模板】AC 自动机（简单版）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3808)

    }

    ```

## KMP 自动机

## 拓展

### 确定有限状态自动机

如果大家理解了上面的讲解，那么做为拓展延伸，文末我们简单介绍一下自动机与 KMP 自动机。（现在你再去看百科上自动机的定义就会好懂很多啦）

最后介绍自动机和 KMP 自动机，供学有余力的朋友观赏。

有限状态自动机 （deterministic finite automaton，DFA）是由

有限状态自动机 (DFA)：字符集，有限状态控制，初始状态，接受状态。

1. 状态集合 $Q$；

2. 字符集 $\Sigma$；

3. 状态转移函数 $\delta:Q\times \Sigma \to Q$，即 $\delta(q,\sigma)=q',\ q,q'\in Q,\sigma\in \Sigma$；

4. 一个开始状态 $s\in Q$；

5. 一个接收的状态集合 $F\subseteq Q$。

KMP 自动机：一个不断读入待匹配串，每次匹配时走到接受状态的 DFA。

组成的五元组 $(Q,\Sigma,\delta,s,F)$。

共有 $m$ 个状态，第 $i$ 个状态表示已经匹配了前 $i$ 个字符。

那这东西你用 AC 自动机理解，状态集合就是字典树（图）的结点；字符集就是`a`到`z`（或者更多）；状态转移函数就是 $trans(u,c)$ 的函数（即`tr[u,c]`）；开始状态就是字典树的根结点；接收状态就是你在字典树中标记的字符串结尾结点组成的集合。

定义 $trans_{i,c}$ 表示状态 $i$ 读入字符 $c$ 后到达的状态， $next_{i}$ 表示[prefix function](/string/prefix-function)，则有：

### KMP 自动机

KMP 自动机就是一个不断读入待匹配串，每次匹配时走到接受状态的 DFA。如果共有 $m$ 个状态，第 $i$ 个状态表示已经匹配了前 $i$ 个字符。那么我们定义 $trans_{i,c}$ 表示状态 $i$ 读入字符 $c$ 后到达的状态， $next_{i}$ 表示 [prefix function](/string/prefix-function)，则有：

$$

trans_{i,c} =

（约定 $next_{0}=0$ ）

我们发现 $trans_{i}$ 只依赖于之前的值，所以可以跟[KMP](/string/prefix-function/##knuth-morris-pratt)一起求出来。

我们发现 $trans_{i}$ 只依赖于之前的值，所以可以跟 [KMP](/string/prefix-function/#knuth-morris-pratt) 一起求出来。

时间和空间复杂度： $O(m|\Sigma|)$ 。一些细节：走到接受状态之后立即转移到该状态的 $next$ 。

时间和空间复杂度： $O(m|\Sigma|)$ 。

对比之下，AC 自动机其实就是 Trie 上的自动机。（虽然一开始丢给你这句话可能不知所措）

一些细节：走到接受状态之后立即转移到该状态的 $next$ 。