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![scc1.png](./images/scc1.png)

有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边（不一定全部出现）：

1. 树边（tree edge）：绿色边，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。

2. 反祖边（back edge）：黄色边，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。

3. 横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点**并不是**当前结点的祖先时形成的。

4. 前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。

1\. 树边（tree edge）：绿色边，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。

2\. 反祖边（back edge）：黄色边，也被叫做回边，即指向祖先结点的边。

3\. 横叉边（cross edge）：红色边，它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 **并不是** 当前结点的祖先时形成的。

4\. 前向边（forward edge）：蓝色边，它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。

一个结点的子树内结点的 DFN 都大于该结点的 DFN。

### Tarjan 算法求强连通分量

在 Tarjan 算法中为每个结点 u 维护了以下几个变量：

1. $DFN[u]$：深度优先搜索遍历时结点 u 被搜索的次序。

2. $low[u]$：设以 u 为根的子树为 $Subtree(u)$。$low[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值：$Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。

1\. $DFN[u]$ ：深度优先搜索遍历时结点 u 被搜索的次序。

2\. $low[u]$ ：设以 u 为根的子树为 $Subtree(u)$ 。 $low[u]$ 定义为以下结点的 $DFN$ 的最小值： $Subtree(u)$ 中的结点；从 $Subtree(u)$ 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。

显然，按照 DFS 搜索树的递归顺序， $low[u]$ 是单调递增的。

将上述算法写成伪代码：

```

    TARJAN_SEARCH(int u)

        vis[u]=true

        low[u]=dfn[u]=++dfncnt

                low[u]=min(low[u],low[v])// 回溯

            else if v has been in the stack then

                low[u]=min(low[u],dfn[v])

```

对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 $DFN[u]=low[u]$ 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 $low$ 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。

  low[u] = dfn[u] = ++dfncnt, s[++tp] = u;

  for (int i = h[u]; i; i = e[i].nex) {

    const int &v = e[i].t;

		if(!dfn[v])tarjan(v), low[u]=min(low[u],low[v]);

		else if(!scc[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);

    if (!dfn[v])

      tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]);

    else if (!scc[v])

      low[u] = min(low[u], dfn[v]);

  }

  if (dfn[u] == low[u]) {

    ++sc;